https://hemerotecadigital.uanl.mx/files/original/268/14470/1964._CUADERNOS_DEL_INST._DE_INVEST._CIENTIFICAS._1964._No._4._Junio._0002016412.ocr.pdf a8c9053ad555492f1e236d14afec6a67 PDF Text Text ��UNIVERSIDAD DE NUEVO LEON INSTITUTO DE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS OPTIMIZACION EN UN PROYECTO PARA EL CONTROL DE AVENIDAS DEUN RIO ' '"' "4 ~ ,,_., \.. .. . . . l . . \~( l {. ~. J~.'i _...,.. . . ' /. ".~-J CEMT,lAL . ELADIO SAENZ QUIROGA ��- 2 - - 3 - Por razones topográficas. Lo s ingeniero b han proyecto. decidido que deben construirse~ presab a lo Notación. largo del río en lugares diferentes. Además , para el planteo y solución del problema: para que el bistema de control de avenidas sea x efectivo, los ingenieros han estimado cierta ca- 1 Consideremos la siguiente notación = No. total de hectáreas- metro de agua para irrigación en el proyecto. pacidad mínima para cada una de las presas. El x 2 = No. total de hectáreas-metro de agua gobierno considera que la construcción del pro- para generación de energía eléctrica en yecto contribuirá notablemente a un rápido de- el proyecto. sarrollo agrícola e industrial de la región. Pa- c i= Costo por Hect. Mto. de agua para irri1 gación en la presa pi ra fomentar este desarrollo y al mismo tiempo recobrar por lo menos parte del costo del pro- c 2 i= Costo por Hect. - Mto. de agua para ener- yecto, se planea distribuir la capacidad con gía eléctrica en la presa pi propósitos de venta en agua para riego y agua ªii= Proporción de la capacidad total de para generación de energía eléctrica.La comi- agua para irrigación correspondiente a la presa pi. timaciones de los costos unitarios de cada uno de los lugares donde se construirá una presa y determinan la distribución óptima de la capacidad total del proyecto, de acuerdo con las ne- L m sión de técnicos avocados al proyecto hace es- 1 • ~ ª1i = 1 1 a 2 i ~ Proporción de la capacidad total de agua_ para energía eléctrica corresponm diente a la presa pi. ~ ª2i " 1 cesidades de desarrollo económico de cade zona• El problema es satisfacer las condiciones establecidas minimizando el costo total del Capacidad mínima de la presa pi �• - - 4 - 5 - El problema es minimizar el costo total C Observación. Una hectárea-metro es un prisma rectangular de una hectárea de base por un metro sujeto a las necesidades de capacidad mínima de alto. ( 10,000 metros cúbicos). para cada presa. Es decir: En forma tabular, los datos del problema Minimizar: pueden presentarse de la siguiente manera: e= Distribuci6n ::s::: Capacidad mínima de cada presa . Irrigaci6n Energía Electrica p1 a 11 x1 ª21 x2 b1 p2 ª12 x1 ª22 x2 b2 ª11 X¡+ ª21 X2~ bl p1 ª13 11.1 ª23 x2 b3 ª12 X¡+ ª22 X2 ~ b2 • . • • . Sujeta a las condiciones laterales: . . . . . . • • • • . .• . . • La naturaleza de las incógnitas x1 y x2 implica que deben ser no-negativas. Entonces p m ª2m x2 ª1m x1 X Caracidad tota: '~1i= 1 de nrovecto Costo Total t;c a xz4r a 2i =X2 l!= X ~c 1i 1i 1 a X 2i 2i 2 b m • se tiene la condición adicional : �- 6 - En notación matricial •, (?;_ cli ªu , definiendo: >i. c21 • riego y agua para energía eléctrica así como los costos en cada presa y el costo total del 21 ) proyecto, Se tiene: Minimizar: C -i- El par (X 1 • x2 J que minimiza el costo total C debe estar contenido en Solución Gráfica. ~ \ J d X Sujeta a : A X ~ b el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades lineales I. El conjunto de soluciones Para valores determinados se c 1 i , c 2i , ªli de I será la intersección de los semi-planos c~ a 2i y bi, sé tiene un problema de programación rrespondientes a las soluciones de cada una de lineal con 2 incógnitas. Desde luego puede pen- las desigualdades. Consideremos la siguiente no sarse que los costos unitarios dependen del tama- tación: ño de la obra en cada lugar, pero una vez esta- Si= Semi-plano de soluciones de la desigualdad blecidas las proporciones de la capacidad total del proyecto, se pueden estimar valores específicos para los costos unitarios. La determinación de las incógnitas i Conjunto de soluciones del sistema I S = S = 31 íl S2 íl S3 m • • • • • • • • • {) Sm = i /) 1 Si x1 y x2 proporcionará datos indispensables para proceder al diseño de las presas y a la planeación del financiamiento del proyecto. Es decir, conociendo x1 y x2 se obtienen inmediatamente las capacidades óptimas de cada presa y su distribución en agua para + Es conveniente observar que éste modelo no incluye limitación para la capacidad total del proyecto de acuerdo con la capacidad total que puede proporcionar la cuenca del río. En términos matemáticos, ésta restricción adicional sería: x1 + x2 X, siendo X la capacidad máxima que puede proporcionar el río. =::= �- - 9 - 8 - decir, debe estar contenida en el sub-conjunto Consideremos la familia de rectas con pendl diente - cI::-, es decir, el conjunto de rectas T de S tal que: paralelas que pasan por el punto (O.d ),varian- La solución óptima debe ser no-negativa, es T = {(xl. X2l fS I X1~º 2 ; x~o} Los elementos del conjunto T reciben el nombre de soluciones factibles del problema. El conjunto Tes una región del plano contenido en el primer cuadrante y limitado por do C. El costo C será mínimo sujeto al sistema e de desigualdades I, cuando----a; + a 2 i x 2 = bi. Es decir, Tes un 2 polígono convexo. Ahora, la función que se desea minimizar es: m m c2i ª2i X2 e = cli ª1i Xl + ma: ªli x l. 1 Sea dj = e= ¿= l. por lo menos en un punto a la región del primer cuadrante T. Entonces, una vez graficado el polígono T ~ dl Xl cji a J..l. + j = 1, 2 a:;- e en el punto mas bajo posible a T. Si el problema es consistente, la solución óptima (única) será un vértice del polígono T. finito de soluciones será un lado del polígono T d2 X2 ¾ ta C = d 1 x 1 + d 2 x 2 para un valor arbitrario de C y se desplaza paralelamente hasta encontrar Si el problema es indeterminado, el conjunto in- La gráfica de esta función es una recta con ordenada al origen dl (abierto) de soluciones de I, se grafica la rec- 1 m sea mínimo de manera que la recta correspondiente intersecte rectas que corresponden a ecuaciones de la for- ¿= e 2 y pendiente igual a paralelo a la familia de rectas del costo C = dl xl + d2 X2 Generalización del problema. El problema puede generalizarse aumentando el número de incógnitas. Por ejemplo, otra posibilidad de distribución de �- 11 - - 10 - Discutir este problema general, sería es la capacidad total del proyecto podría ser: x3 = Capacidad total para abastecimiento de agua potable. Considerando n actividades distintas para yecto, se tiene: = d1 lo que me limitaré a describir el proceso mate mático que se sigue para la solución de éste la distribución de la capacidad total del pro- Minimizar: C cribir la teoría de la programación lineal, por x1 + d2 x2 ......•.• + dn ~ Sujeta a: ª11 X¡+ ª12 X2 + ª21 X¡+ ª22 X2 + • .. . . . . . ... tipo de problema. l. La solución del problema debe satisfacer el sistema de desigualdades. Se transforman las desigualdades en ecuaciones suman do o restando incógnitas artificiales no + ªIn ~~bl + ª2n ~~b2 • negativas en el lado izquierdo de cada desigualdad. En nuestro problema general restamos incógnitas artificiales no-nega- • tivas para transformar en un sistema de ecuaciones: . .. . . En forma compacta. utilizando matrices·• se +ªIn~ - ul = bl + ª2n ~ - u2 = b2 tiene: Minimizar C = d X • Sujeta a : A X ~b • .. - um - b m �13 - - 12 2. determinado puesto que se tiene mayor número de incógnitas que de ecuaciones. 3. se les llama soluciones básicas factibles. El sistema de ecuaciones resultante en in- Del conjunto infinito de soluciones del sistema de ecuaciones, nos interesa el sub-conjunto de vectores no-negativos o sea las soluciones factibles del problema. Se demuestra que el conjunto de soluciones no-negativas del sistema es un poliedro convexo P. es decir, toda combinación li- 5. Por último, el teorema fundamental establece que cualquier función lineal de varias variables sujetas a un sistema de ecuaciones lineales, se maximiza o minimiza en uno de los puntos extremos del poliedro convexo de soluciones no-negativas del sistema. Observación, Nótese que el número máximo de puntos extremos del poliedro convexo de soluciones neal con,exa de puntos extremos de P está no-negativas es finito e igual al número de com- contenida en P. En simbolos matemáticos: binaciones de las ( n + m) incógnitas tomando m cada vez. Para i = 1.2, ..... , m. son los puntos extremos de P: ¿ m Entonces, ci Xi € P para todo conm = 1 junto de escalares ci tales que ~ , 1 • 1 l. e (n + m, m) - (n + m)! - m ! n ! Entonces, se puede encontrar todos los vectores correspondientes a puntos extremos y calcular los correspondientes valores de la función objetivo para encontrar el máximo o el mínimo buscado. Sin embargo, esto resulta en general un 4. r\ Después se demuestra que los puntos extremos del poliedro convexo, corresponden a vectores que tienen exactamente m componentes diferentes de cero, a los cuales BIBLIOTECA CL '": l trabajo extenso. El profesor Dantzig ha combinado estos fundamentos matemáticos para idear un proceso de cálculo numérico que normalmente �- 14 - conduce a la solución rápidamente (método Simplex). El método Simplex consiste en encontrar un punto extremo e investigar si corresponde o no al valor mínimo o máximo de la función objetivo. Si no sucede ésto, se escoge otro punto extremo que corresponde a un valor de la función objetivo igual o más cercano al máximo o mínimo buscado y así sucesivamente hasta encontrar la solución. ��� Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Cuadernos del instituto de investigaciones Científicas Description An account of the resource Publicación del Instituto de Investigaciones Científicas de la Universidad de Nuevo León, publicado en la década de los sesenta. Presenta investigación y difusión científica realizada por la Universidad, así como noticias del ámbito científico internacional. Además de presentar noticias sobre las actividades académicas y científicas de las facultades y escuelas de la UNL. Text A resource consisting primarily of words for reading. Examples include books, letters, dissertations, poems, newspapers, articles, archives of mailing lists. Note that facsimiles or images of texts are still of the genre Text. Título Uniforme Cuadernos del Instituto de Investigaciones Científicas Año de publicación El año cuando se publico 1964 Número Número de la revista 4 Mes de publicación Mes cuando se publicó Junio Día Día del mes de la publicación 1 Periodicidad La periodicidad de la publicación (diaria, semanal, mensual, anual) Irregular Relación OPAC https://www.codice.uanl.mx/RegistroBibliografico/InformacionBibliografica?from=BusquedaAvanzada&bibId=1752848&biblioteca=0&fb=20000&fm=6&isbn= Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Cuadernos del Instituto de Investigaciones Científicas, 1964, No 4, Junio Subject The topic of the resource Investigación Ciencia Difusión científica Tesis y disertaciones Ciencias biológicas Ciencias Químicas Description An account of the resource Publicación del Instituto de Investigaciones Científicas de la Universidad de Nuevo León, publicado en la década de los sesenta. Presenta investigación y difusión científica realizada por la Universidad, así como noticias del ámbito científico internacional. Además de presentar noticias sobre las actividades académicas y científicas de las facultades y escuelas de la UNL. Publisher An entity responsible for making the resource available Universidad de Nuevo León, Instituto de Investigaciones Científicas Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Sáenz Quiroga, Eladio Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 01/06/1964 Type The nature or genre of the resource Revista Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource tex/pdf Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context 2016412 Source A related resource from which the described resource is derived Fondo Universitario Language A language of the resource spa Spatial Coverage Spatial characteristics of the resource. Monterrey, N.L., (México) Access Rights Information about who can access the resource or an indication of its security status. Access Rights may include information regarding access or restrictions based on privacy, security, or other policies. Universidad Autónoma de Nuevo León Rights Holder A person or organization owning or managing rights over the resource. El diseño y los contenidos de La hemeroteca Digital UANL están protegidos por la Ley de derechos de autor, Cap. III. De dominio público. Art. 152. Las obras del dominio público pueden ser libremente utilizadas por cualquier persona, con la sola restricción de respetar los derechos morales de los respectivos autores Método Simplex Ríos Sistema de presas