https://hemerotecadigital.uanl.mx/files/original/408/19940/Celerinet_2017_Ano_5_Vol_10_Julio-Diciembre.ocr.pdf a34b354f369e1e8dfaacc30bc805b853 PDF Text Text MATEMÁTICAS I FÍSICA I e.COMPUTAC IONALES I MULTIMEDIA Y AN IMACIÓN DIGITAL 1 ACTUARIA / SEGURIDAD EN TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN UANL FCFM �lng. Rogelio Guillermo Garza Rivera Rector Alma Patricia Prado Villarreal Diseño M.A. Carmen del Rosario De la Fuente García Secretaria General Dr. José Rubén Morones lbarra Gabriel Martínez Villarreal Dr. Guillermo Salceda Delgado Dr. Romeo Selvas Aguilar Dr. Arturo Castillo Guzmán Dr. Ricardo lván Alvarez Tamayo Dr. Valentín Guzmán Ramos Dr. Ángel E. Sánchez Colin M.A. Reyna G. Castro Medellín Alma Patricia Prado Villarreal Colaboradores Dr. Juan Manuel Alcocer González Secretario Académico Dr. Celso José Garza Acuña Secretario de Extensión y Cultura Lic. Antonio Ramos Revillas Director de Publicaciones M.T. Rogelio Juvenal Sepúlveda Guerrero Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas M .A. Alma Patricia Calderón Martínez Editora Responsable M.A. Alma Patricia Calderón Martínez Redacción M.A. Patricia Martínez Moreno M.T. José Apolinar Loyola Rodríguez Dr. Romeo de Jesús Selvas Aguilar M.C. Azucena Yoloxóchitl Ríos Mercado M.A. Alma Patricia Calderón Martínez M.C. Álvaro Reyes Martínez Dra. María de Jesús Antonia Ochoa Oliva Consejo Editorial Celerinet, Año 5, Vol. 10, julio-diciembre. Fecha de publicación: 11 de diciembre de 2017 Es una publicación semestral, editada por la Universidad Autónoma d e Nuevo León, a través d e la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Domicilio de la publicación: Ave. Universidad S/N. Cd. Universitaria. San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México, C .P. 66451. Teléfono + 52 81 83294030. Fax: + 52 81 83522954. www.fcfm.uanl.mx Editora Responsable: Alma Patricia Calderón Martínez. Reserva de derechos al uso exclusivo No. 04-2014102111595700-203 otorgado por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. ISSN 2395-8359. Registro de marca en trámite. Responsable de la última actualización de este número, Unidad Informática, M.A. Reyna Guadalupe Castro Medellín, Ave. Universidad S/N Cd. Universitaria. San Nicolás d e los Garza, Nuevo León, México, C.P. 66451 . Fecha de última modificación 11 de diciembre de 2017. Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan la postura de la editora o de la publicación. Prohibida su reproducción parcial o total de los contenidos e imágenes de la publicación sin previa autorización de la Editora. Todos los derechos reservados © Copyright 2017 celerinet@uanl.mx �04 06 EDITORIAL )oe INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS Métodos alternos para el modelo matemático de un infinito número de secuencias únicas creadas por sumas finitas de números naturales 14 INVESTIGACIÓN / FÍSICA INVESTIGACIÓN /ASTROFÍSICA Eclipses, un fenómeno histórico para las artes y las ciencias 24 { . > ( •• ••• • Interferencia modal en fibra óptica para medición de curvatura 19 ) INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Astronomía en las artes liberales �Estimado(a) lector(a), Presentamos el volumen 10 de la Revista Digital CELERINET. En esta publicación encontramos en la sección de artículos un conjunto de cuatro trabajos interesantes. Estos artículos son representativos de las actividades académicas que se realizan en nuestra Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas. En ellos se reflejan los aspectos teóricos, experimentales y aplicados de la actividad científica que desarrollan los miembros de nuestra comunidad académica. Los artículos que aquí aparecen representan los resultados del trabajo generado de proyectos donde participan maestros y estudiantes de nuestra Facultad. En ellos se observa el compromiso de los autores con la excelencia académica y el sentido de una gran responsabilidad social, así como también el conocimiento y dominio de los temas abordados. Por otra parte, la importancia de estos trabajos se manifiesta en sus aplicaciones y la abundante literatura que encontramos en el mundo sobre estos temas. En el primer artículo, titulado "Métodos alternos para el modelado matemático de un infinito número de secuencias únicas creadas por sumas finitas de números naturales'; se presenta un método novedoso para determinar la suma final de los valores individuales de un número infinito de secuencias numéricas finitas. En el campo de la física encontramos en este volumen el artículo "Interferencia modal en fibra óptica para medición de curvatura'; se presentan las ventajas y características de un sensor que permite medir curvaturas. En este dispositivo se utiliza un interferómetro tipo Michelson de fibra óptica. En el tercer artículo, con el título "Eclipses, Un Fenómeno Histórico para las Artes y las Ciencias'; el autor presenta evidencia de una posible actividad astronómica de la civilización más antigua del noreste de México, que se remonta a sociedades que se desarrollaron hace alrededor de 7,500 años. En el último artículo, cuyo título es ';.\stronomía en las Artes Liberales; se aborda el tema de la relación entre las artes y la ciencia, en particular la astronomía. Se ocupa del poco interés que mostraron los artistas en la ciencia. Menciona la influencia que tuvo la formación artística de Galileo, quien poseía firmes conocimientos de pintura y de la perspectiva, cuyas habilidades le ayudaron en sus descubrimientos astronómicos y en el diseño de sus telescopios. �La Revista CELERINET es un espacio para que los profesores, investigadores y estudiantes difundan sus trabajos académicos y científicos y que estos puedan llegar a un amplio público de la sociedad en general. Se brinda este espacio para comunicar temas en las áreas científicas, tecnológicas y ciencias aplicadas. CELERINET agradece a los colaboradores de este volumen su interés en publicar sus trabajos en este espacio. Así mismo invita a todos aquellos que deseen participar con sus trabajos en futuras ediciones de esta revista cuyo propósito es difundir el conocimiento. Dr. José Rubén Morones lbarra Profesor-Investigador UANL-FCFM-CICFIM Coordinador de Formación Académica �CELERINET JULIO • DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN/ MATEMÁTICAS , METO DOS AL TERNOS PARA, EL MODELADO DE UN ,INFINITO NUMERO DE SECUENCIAS UNICAS CREADAS , POR SUMAS FINITAS DE NUMEROS NATURALES Gabriel Martínez Villarreal UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: Desde los tiempos de Gauss, el estudio algebraico de las progresiones aritméticas había sido ya altamente desarroJlado por sus aplicaciones en las sumas finitas. En este artículo se presenta una nueva ecuación que sirve para calcular la suma final de los valores individuales de un número infinito de secuencias numéricas finitas. El objetivo principal es descubrir por qué dos ecuaciones diferentes (el modelo nuevo y el modelo estándar) son válidas para varios casos dentro del reino de las progresiones aritn1éticas finitas y consecutivas. Se descubrió que el 1nodelo propuesto sirve para un tipo especial de secuencias, o conjuntos, que satisfacen una variedad de restricciones simples. Ade1nás, las características intrínsecas y los patrones encontrados entre estos conjuntos (llamados "Conjuntos de Rehlaender") son descritos profundamente a través de la formación de ecuaciones complementarias. Estos patrones incluyen maneras de determinar tanto el primer como el últúno elemento del siguiente conjunto, así como diversas explicaciones para las propiedades par/impar de sus valores. Aunado a esto, se presenta un análisis de los valores de la suma total de cada uno de sus conjuntos, así como una determinación de su media aritmética en términos de los parámetros propuestos. Palabras claves: progresiones aritméticas, secuencias, sumas finitas, modelado �INVESTIGACIÓN/ MATEMÁTICAS CELERINET JULIO · DICIEMBRE 2017 Introducción Planteamiento del Problema Carl Friedrich Gauss ( l 777 - 1855) fue un matemático alemán que a una corta edad estudió el comportamiento de los números consecutivos en las progresiones aritméticas al intentar responder la pregunta: ¿cuál es la suma de todos los números enteros posit ivos consecutivos del 1 a l 100? Esto es: Si se quisiese obtener el valor de la suma de (2) con: S = 1 +2 +3 +4 + 5 ... 100 La sumatoria total de una secuencia finita de números consecutivos es normalmente descrita por: ti iL, ;; J n (x + x1) 2 (1) Donde " n" es la cantidad de elementos en el conjunto, "x." e l último elemento y "x ," el primero. La ecuación (1) es conocida por su utilidad para calcular la suma de los términos contenidos en una progresión aritmética cuyos elementos consecutivos posean entre ellos una d iferencia de uno. Una vez formulada, resulta ser exitosa al ser aplicada a una secuencia arbitraria como: {6 + 7 + 8 + 9 + 10} = 40 (2) Anteriormente, Szemerédi [6] había demostrado que cualquier subconjunto de densidad positiva contiene progresiones aritméticas de un largo arbitrario. Por su parte, Green y Tao [ 1] siguieron con el descubrimiento de que existen progresiones de largo arbitrario compuestas por números primos. Ahora bien, en el presente artículo se presentará la formulación de un conjunto especial g, que contiene a un infinito número de conjuntos finitos 9l(j), los cuales contienen individualmente elementos definidos por una progresión aritmética única; la cual se determina por parámetros que corresponden a información intrínseca que describe a cada conjunto. Lo primero que se pondrá en consideración será la proposición de un modelo de autoría basado en ( 1); lo cual llevará a la formulación de una hipótesis. Posteriormente, se expondrá el análisis correspondiente que permitió la definición formal del modelo, así como el subsecuente modelado de secuencias que permiten describi.r la manera en que los elementos de un conjunto se relacionan con los de un conjunto posterior. Por último, se presentarán los resultados relativos a la información que tanto los valores de la suma de los e lementos de un conjunto como el promedio de sus elementos nos brindan para una definición más exhaustiva del modelo. 11 L ¡ .= ,, (x + X I n X 1) (Xn -X) I =¡ (3) Se encontrará que tanto (1) como (3) son igualmente efectivas. Resulta interesante que para este caso en particular existan dos ecuaciones muy parecidas y perfectamente aplicables que sirven para la tarea de encontrar el valor de la suma total de los valores individuales de cada elemento contenido en (2). Dicho esto, surgen las inev itables preguntas: ¿Por qué ambas ecuaciones ( 1) y (3) son válidas para este caso? ¿Es acaso una coincidencia o será posible que (3) es efectiva para todos los casos? Y si no lo es, ¿existe una manera de determinar todos los posibles conjuntos que cumplen las propiedades y restricciones que se presentan en (2)? En otras palabras, ¿cómo podemos saber cuáles son todos los posibles conjuntos que satisfagan a (3), así como sus características intrínsecas? Hipótesis " Existe una manera de modelar una función que sirva para definir un conjunto que contiene a un número infinito de conjuntos cuyo número "n" de elementos finitos siempre es impar y mayor a uno; así como también forman parte de una progresión aritmética de números naturales". Métodos Dentro del numerador de ( 1) y (3) se encuentra el mismo factor (x. + x¡), el cual no genera una disonancia entre las proporciones de las posibles fracciones generadas en estas. Dicho esto, para motivos del modelado en cuestión, se dejará momentáneamente a un lado el efecto de este término en ( 1) y (3). Ahora bien, si la información obtenida de (2) se sustituye en ( 1), sucede que: n 2 5 2 (4) Si se hace lo mismo con (3): x. - ~ (xn - x 1) 4 (5) Las ecuaciones (4) y (5) son equivalentes. Por tanto, podemos argumentar que s1 un factor cp = 2 multiplica tanto al numerador como al denominador de (4), entonces esta se conv ierte en (5): �INVESTIGACIÓN/ MATEMÁTICAS CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 De aquí en adelante, tomemos en consideración las s iguientes propiedades de las variables "qJ'' y "n": <p, n E Fil n>l n * 2<p Dicho lo anterior, podemos considerar a (2) como el conjunto uruco y correspondiente al caso en el cual <p = 2 y n = 5. (6) Resultados Ahora evaluados bien, en los el datos denominador de de (2) (3): (Xn - X) = 4 I Son iguales al doble del factor "<p" por el cual multiplicamos (4) para convertirla en (5). Por lo tanto, podemos decir que: (x - X) = 2<p " J Consecuentemente, una nueva observación de (2) nos apunta a deducir que su número de elementos (n = 5) es simplemente el doble del factor "<p" escogido más 1. Esto es: n = 2<p + 1 Tabla 1: Primeros 1O Conjuntos de Rehlaender. Por su parte, el valor del último elemento de (2) puede ser representado sencillamente como el producto del factor "<p" correspondiente al caso y el número de elementos totales " n" contenidos en (2): x. = <pn (7) De ahí se deduce que: x 1 = <p(n - 2) (8) Definició11 for111a/ del modelo y la función. Una vez consideradas las propiedades de las variables "<p" y "n", se deduce que "<p" es la variable de la cual depende "n", por lo cual crean una función biyectiva: n(<p) = 2<p + 1 (9) Entonces, si tomamos (3) y redefinimos sus variables en términos de "<p" y "n", se termina con: f i = <pn(n Ya que el objetivo de (9) es encontrar los valores correspondientes de "n" para cualquier valor de "<p" que se evalúe, se pueden visual izar a los valores de "<p" como las posiciones fijas de cada conjunto en una lista que contenga todos los números naturales posibles. Esa lista es, a su vez, una manera de catalogar todos los posibles conjuntos únicos y correspondientes al valor de " n" elementos aplicables. Por ende, se pretende mostrar una lista de los primeros IO de estos conjuntos especiales. Por motivos prácticos, se ha decidido nombrar bajo la denominación de "Conjuntos de Rehlaender" a este conjunto que contiene un número no finito de conjuntos únicos creados a partir de la suma finita de los valores individuales de cada uno de sus elementos. - 1) (10) i=cp(11 - 2) La cual nos dice que para cualquier "<p" que se elija evaluar en (9), existirá un número impar correspondiente de elementos en el conjunto único. Esto es, con la función se pueden encontrar un número infinito de conjuntos únicos, cuyo número de elementos "n" corresponden a cada uno de los números impares positivos mayores a uno. Suma total 6 40 126 288 550 936 1470 2176 3078 4200 Conjunto único (~q,) {1 +2+3 } {6+7+8+9+10} {15+16+17+ ...21} {28+ 29+ 30+ ...36} {45+ 46+47+ ...55} {66+ 67+ 68+ ...78} {9 1+92+93+... 105} { 120+ 121 + 122+ ... l 36} { 153+ 154+ 155+ ... 171} { 190+ 191 + 192+...210} n <p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Discusión: El estudio exhaustivo de los patrones existentes entre los elementos de estos conjuntos consecutivos ha generado el análisis de cuatro factores fundamentales que describen el comportamiento de estos. Propiedades Par/Jmpar de x I y x,, Al ordenar los conjuntos de manera consecutiva (con el valor de "<p" creciente), los primeros números de cada conjunto siguen una secuencia en el cual el primer elemento del primer conjunto es impar, el primero del segundo conjunto es par, y así sucesivamente. Aunado a esto, el primer elemento de uno de estos conjuntos s iempre es impar cuando el valorde"<p"también loes,yv iceversa. �INVESTIGACIÓN /MATEMÁTICAS CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 Si se utiliza (8), y se analizan todos los posibles valores de la variable x 1, así como consideramos que "n" siempre será impar y mayor a uno, se concluye que en (8) la variable "cp" siempre multiplicará un número impar; dado que al restarle dos unidades a cualquier número " n" impar (n - 2 ), este seguirá con su misma propiedad inicial, sin importar el valor de "n". Entonces, de ahí se deducen dos posibles casos: • n = impar .,. impar - -- ► <p = impar Xi -► ► n = impar . par • <p = par Fig. 1. Representación de la dualidad par/ impar de x1 Lo presentado anteriormente se repite también en el comportamiento de la secuencia generada por los últimos elementos de cada conjunto ordenados en base a los valores crecientes y consecutivos de "cp". Esto es, el último número del primer conjunto es impar, el último del segundo es par, y así sucesivamente. Si se toma como punto de partida a (7), y se toman en consideración las propiedades descritas en (6), entonces "cp" es la variable que se encarga completamente de determinar si el último número de un conjunto será par o impar. Esto es: Por último, dado que hemos demostrado que tanto el primero como el último elemento de cualquiera de los conjuntos son determinados como "par" o "impar" bajo el comportamiento de la variable "cp", concluimos este primer análisis enunciando el siguiente teorema: Teorema su Xn l. Para todo correspondiente Corolario su Xn l. Para todo correspondiente x, que también sea lo par, será. que no sea par, tampoco lo será. XI Modelado de secuencias entre Los valores ordenados de x, Otro fenómeno interesante sucede al ordenar los valores (en base a los valores crecientes y consecutivos de "cp") de x 1 y x. Empezando por el comportamiento de los primeros elementos de cada conjunto, si los ponemos en orden queda: { l, 6, 15, 28, 45, 66, 9 1, 120, 153, 190... } Ahora bien, si al primer número del segundo conjunto (x1) le restamos el primer número del primer conjunto (x,_ 1), su diferencia es de cinco: Si se hace lo mismo con primeros números: los siguientes dos Se nota una diferencia de cuatro entre las diferencias de un par inicial de conjuntos consecutivos ordenados del mayor al menor (x"'·' - x~1_1) . Esto es: cp > 2 Fig. 2. Representación de la dualidad par/ impar de x 0 En cuanto a la suma total de cada uno de los conjuntos, se descubrió que todos los valores de las mismas son siempre números pares. Retomando la ecuación ( JO), así como recordando que ya se explicó como el producto de cpn puede ser tanto par como impar, quedaría considerar el efecto que tiene el multiplicar ese producto por el término (n - 1). Ahora bien, si " n" siempre es impar y mayor a uno, al sustraerle de su valor una unidad éste se convertirá invariablemente en un número par. Dicho esto, se puede concluir que todos los valores de las sumas totales de los conjuntos serán pares. (xq,./ - X"'_,) - (x~I.I - X~1.,) = 4 ( 11) Si se desarrolla a ( 11 ) de la manera adecuada, eventualmente se dará con la conclusión en la cual las expresiones terminan dando un resultado de cuatro. Esta se puede generalizar para todos los casos tomando en cuenta que: n<P = 2cp + l [cp(n"' - 2) - (cp - J)(n~ 1 - 2)] [(cp - l)(n<P_1 - 2) - (cp - 2)(n~ 2 - 2)] (12) �INVESTIGACIÓN/ MATEMÁTICAS CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 Por tanto, se enuncia el s iguiente teorema. Teorema 2 . La diferencia consecutiva entre las diferencias de un par de elementos iniciales de conjuntos consecutivos será siempre descrita por ( 11). Por lo tanto, si se quisiese determinar el primer número del siguiente conjunto (xq,+i.,) solo sería necesario conocer el primer número del conjunto anterior (xq,_ 1) y una de las variables involucradas en los datos del primer conjunto (sean " cp" o "n"). Estas relaciones entre secuencias son determ inadas para todos los casos por e l siguiente mode lo: Corolario 2. La d iferencia entre cualquier e lemento inicial de un conjunto con el in icial del conjunto anterior se define por: (xq>. / - X q,- /,/ ) = 4cp - X <p+ I • I = X <p. I + (2n<p - 1) (13) El cual se demuestra tomando en cuenta las primeras cons ideraciones de (12). Una vez sustituidas las variables correspondientes en la ecuación, se tiene que: 3 Ahora bien, la secuencia generada por estas diferencias es : xq,+J.t = 2cp 2 + 3cp + 1 (14) {5, 9, 13, 17, 2 1, 25, 29, 33, 37 ... } Ahora Entonces, se puede argumentar que existe un patrón entre el primer elemento de un conjunto cualquiera (x<P 1) y e l primer elemento del siguiente conjunto (xq>+ 11• ) . Por ejemplo, el primer e lemento del primer conjunto más cinco es igual al primer número del segundo; y este a su vez se vuel ve el primer número del tercer conjunto si se le suma 9, y as í sucesivamente. Por lo tanto, a continuación se mode larán ecuaciones que sirvan para encontrar el valor del primer elemento del conjunto siguiente (xq>+ 11• ) una vez conocidos el primer térm ino del conjunto inicial (x<P,) y una de las variables involucradas ("cp" o "n"). Si se toman los datos del primer conjunto (cp= 1, n= 3, x,_,= 1), así como los del segundo (cp= 2, n=5, x1.1=6), y posteriormente los aplicamos a esta igualdad (el " cp" tomado en consideración es el del primer conjunto): (Xq>+ / •J Se podrá - Xq>. 1) =5 reordenar X q>+ // • = X q>. t la ecuación: +5 Entonces, ¿qué representa el 5? ¿ Cómo se puede expresar en términos de variables que apliquen para todos los casos? Recordemos que para el primer conjunto nq> = 3. Dicho esto, se puede expresar que para que el número de elementos "n" del primer conjunto se convierta en la diferencia entre el primer elemento del conjunto siguiente y el primero del inicial, este se deberá representar como: 2nq> - 1 =5 x q>+ l,I se qms ,ese determinar a bien, si por medio de su definic ión inicial: x q,+J.t = (cp + 1 ) (nq,+t - 2) Se terminará con (14). Por tanto, la proposición queda demostrada y se enuncia en el s iguiente teorema: Teorema 3. El primer elemento de un conjunto \R<P+ 1 siempreserádefinidoen térm inosdel número de elementos de su correspondiente conjunto anterior \Rq> por ( 13). Corolario 3. El primer e lemento de un conjunto \R<P+ 1 también puede ser definido por la posición de su correspondiente conjunto anterior \R<P por medio de: Modelado de secuencias entre los valores ordenados de x n Ahora que se ha comprobado el patrón existente entre los elementos iniciales consecutivos de cualquier conjunto, así como se ha creado una manera de determinar su comportamiento con la ayuda de un modelo matemático demostrado; a continuación se mostrará el procedimiento para definir otro modelo que aplique para el caso de los últimos elementos de los conjuntos consecutivos. Si in icialmente se ordenan todos los últimos elementos de los conjuntos (en base al orden creciente de "cp"), se obtiene la siguiente secuencia: {3, 10, 2 1, 36, 55, 78, 105, 136, 171, 210 ... } �INVESTIGACIÓN /MATEMÁTICAS CELERINET JULIO • DICIEMBRE 2017 Ahora bien, si al último término del segundo conjunto (x2_.) se le resta e l último e lemento de l primer conjunto (x 1_. ), su diferencia es de 7: Ahora bien, el 7 que suma al último número del primer conjunto puede reescribirse en términos del número de elementos de ese conjunto mismo (tomando en cuenta que n<P = 3): 2n<¡) + l Si hacemos lo siguientes dos mismo últimos con los números: Por tanto, se definirá =7 la siguiente proposición: (17) Se notará una diferencia de cuatro entre las diferencias de un par de elementos finales de conjuntos consecutivos ordenados del mayor al menor (x<p.,,. - X q,- J,n.,_1 ). Esto es: La cual se demuestra tomando en cuenta las consideraciones de (16). Una vez sustituidas las variables correspondientes en la ecuación, se tiene que: X >2 (x<P·•• - X,p-l.n.) - (x,p.J.n.-, - x,p-l.n,.) =4 cp+/.n••l =2<p2 + 5<p + 3 (18) (j) ( 15) Si se desarrolla a ( 15) de la manera adecuada, eventualmente se dará con la conclusión en la cual las expresiones term inan dando un resultado de cuatro. Esta se puede general izar para todos los casos tomando en cuenta que: n<¡) =2<p + 1 (16) Por tanto, se enuncia el teorema siguiente: Teorema 4. La diferencia consecutiva entre las diferencias de un par de elementos finales de conjuntos consecutivos será s iempre descrita por ( 15). Corolario 4. La diferencia entre cualquier elemento final de un conjunto con el final del conjunto anterior se define por: Ahora s , se qms tese bien, determinar a por medio de su definición inicial: x,p+t.n..,., = (<p + 1)(n<P + 1) Se terminará con la ecuación ( 18). tanto, se enuncia el teorema s iguiente: Por lo Teorema 5. El último e lemento de un conjunto 9t,p+1 siempreserá definido en térm inosdel número de elementos de su correspondiente conjunto anterior 9\<P por ( 17). Corolario 5. El último elemento de un conjunto 9\cp+i también puede ser definido por la posición de su correspondiente conjunto anterior !Jle¡> por medio de: Relación p olinomial entre las sun,as totales de los co11.j11ntos co11.Secutivos Al ordenar, en valor creciente de <p, los resultados de las sumas totales de cada conjunto, se puede apreciar en la Fig. 3 como éstos siguen un crecimiento polinomial: Ahora bien, la secuencia generada porestasdifereniciases: {7, 11 , 15, 19, 23, 27, 3 1, 35, 39 ... } Considerando todo lo anterior, podemos empezar declarando que el primer conjunto (<p=l, n=3, xLn =3) y el segundo conjunto (<p=2, n=5, x2_. = 1O) se relacionan de la siguiente manera (tomando el valor de " <p" de l primero): - ,. .• ¡¡ """"" • ~ i!IOOOO ,00000 - )00000 o o - ¡,, • - ~ J,0000 12 JIJCOOO Esto puede reordenarse como: -• . , -... ••• -r~ w m ~ • • •• .• • .-· • 1 ~ • • ~ • ~ " Fig. 3. Crecimiento polinomial de grado tres entre los valores de las sumas totales de los Conjuntos de Rehlaender �INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS CELERINET JULIO • DICIEMBRE 2017 Esto se explica con e l hecho de que, al remplazar en ( 1O) la variable "n" en términos de ''<p", la sumatoria queda expresada como: S(cp) = 4cp 1 + 2cp 2 Por ende, la sumatoria sigue e l crecimiento de un polinomio de grado tres, dado que <p > O. U11 niétodo i11tlirecto para la deternu11ación estructurada de tlatos estadísticos En esta sección se expondrá el hasta ahora último descubrimiento en re lación al comportam iento de los conjuntos descritos. Plantearse la posibilidad de poder extender los posibles valores de <p hacía los enteros negativos fue de suma importancia para definir, de una manera indirecta pero eficaz, una ecuación que determinara la media aritmética de cada uno de los datos contenidos en cada uno de los conj untos. Para hacer esto, se tomaron datos ya conocidos por la definición del modelo, a modo de guía para extender su definición hacía mayores niveles de precisión. Al tratarse del promedio, se pretende demostrar que: V <p E z· [xq,,J +(xq,,J -1 )+ -.. +(x )] (j), " • [(xcp,J- xcp_n) + 1] ( 19) Termina siendo proporcional a la posición del conjunto en la lista, y no necesariamente a los datos contenidos en ellos; ya que estos varían en función de l número de elementos en el conjunto. Además, para la hipótesis complementar a ( 19), se hizo complementaria en la cual: z· V <p E x q,,J - (x q,,.J - 1) + (xq,,I - 2) - •·· + (x<p, n-,) Es equivalente a (19). Después de desarrollar correctamente cada una de las últimas proposiciones mostradas, se terminó con que éstas terminan siendo reducidas a la simple expresión: ñ f i i=<p(n - 2) = 2cp2 Por tanto, el dato estadístico de la media aritmética de cada uno de los conjuntos puede ser determinado por e l doble del cuadrado de su posición en la lista infinita que los contiene. Esto implica que la hipótesis que ponía en consideración la posibilidad de que el promedio de los elementos contenidos no necesariamente tendría que estar relacionado con los elementos mismos resultó ser correcta. Conclusiones La se definición enuncia en formal del el s iguiente modelo teorema: Teorema 6. Los Conjuntos de Rehlaender están definidos por: Sea tal \R<p que E sus g, un subconjunto de g, elementos cumplan que: V <p, n, x. , x, E N, f i = <pn(n - 1) i=<p (n - 2) n> 1, n(<p) = 2<p+ l ,(x. - x ,) = 2<p, x,, = <pn, x 1 = <p (n - 2) Por último, cabe destacar que, una vez definidos formalmente los Conjuntos de Rehlaender, se recuerda al lector acerca de la posibilidad de encontrar nuevas ecuaciones que describan distintas facetas del comportamiento de los e lementos contenidos en cada uno de estos conjuntos únicos; los cuales podrían ser redefinidos y generalizados para tener una diferencia arbitraria entre ellos. Aunado a esto, se agradece profundamente a la profesora Lília Alanís López por sus atinadas y generosas revisiones y recomendaciones. �INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS Referencias [ I J Green. B. & Tao. T. (2008). ·The pnmes contam arbitran!~ long anthmet1c progressmns". Annals of Mathemallcs. 167. 481 -547. [2] K.olman. B. & Shap1ro. A. Algebra for College Students. 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E-mail: gabriel. mavi@outlook.com CELERINET JULIO - DICIEMBRE 201 7 �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 201 7 INVESTIGACIÓN/ FÍSICA INTERFERENCIA MODAL EN FIBRA , , OPTICA PARA MEDICION DE CURVATURA Guillermo Salceda Delgado Romeo Selvas Aguilar Arturo Castillo Guzmán Ricardo Iván Álvarez Tamayo Valentín Guzmán Ramos UANL - FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: Se presenta el uso de interferencia modal en fibra óptica para la medición de curvatura. En este trabajo, la interferencia modal es generada por medio de un adelgazamiento en fibra óptica estándar. El adelgazamiento tiene como función actuar como acoplador entre el modo fundamental del núcleo y los modos del revestimiento de la fibra óptica. El adelgazamiento es diseñado para generar un interferómetro modal con la estructura de un interferómetro óptico del tipo Michelson. El patrón de interferencia 1nodal del interferómetro sufre un corrimiento espectral al someter el adelgazamiento a cambios de curvatura. Palabras claves: fibras ópticas, interferómetro modal, adelgazamiento en fibra óptica, 1nedición de curvatura �INVESTIGACIÓN /FÍSICA CELERINET JULIO• DICIEMBRE 2017 Introducción La utilización de fibras ópticas en la actualidad ha sido objeto de gran estudio debido a las ventajas que presentan en su uso, dentro de estas ventajas presentes en las fibras ópticas destacan la inmunidad a interferencia electromagnética, su liviano peso, tamaño reducido, resistencia a la corrosión, respuesta rápida, tienen transmisión de banda ancha, etc. El uso de dispositivos de fibra óptica como sensores para la medición de parámetros y la generación de filtros espectrales también ha tenido un gran impacto debido a las ventajas mencionadas anteriormente [ 1]. La mayoría de los dispositivos de fibra óptica para la generación de sensores y filtros se basan en arreglos o estructuras interferométricas construidas por medio de acopladores modales. Dentro de los acopladores modales se encuentran los adelgazamientos de fibra óptica, los cuales se han utilizado como filtros del tipo peine [2], sensores para la medición de curvatura [3], indice de refracción [4], etc. La estructura interferométrica más comúnmente usada es la de Mach-Zehnder [3,5,6] en donde se usan dos acopladores modales. Sin embargo, una estructura interferométrica más compacta que la Mach-Zehnder es la Michelson ya que solo se necesita un acoplador modal para generar la interferencia. Por otro lado, la inclusión de filtros en la cavidad de un láser de fibra ha sido de gran util idad para alterar la ganancia de la fibra activa en el láser y modificar la línea de emisión láser [7]. Esta modificación tiene aplicaciones para la generación de emisiones en múltiples longitudes de onda, lo que es de considerable interés para aplicaciones de sensores, en espectroscopia de alta resolución, además en telecomunicaciones, etc. [8]. En este trabajo utilizamos un interferómetro modal Michelson de fibra óptica adelgazada para detectar posiciones de curvatura, el cual es apropiado para la medición de deformaciones en construcciones urbanas y mecanismos industriales, además de ser útil para el monitoreo en tiempo real del buen estado de estas construcciones y/o mecanismos. Interferómetro Michelson El interferómetro usado para la realización de este trabajo es el de configuración Michelson. La Fig. 1 muestra la configuración básica de este interferómetro. Patrón de interferencia en pantalla Pantalla Espejo Láser Objetivo M icroscopio Espejo Fig. 1. Estructura básica de un interferómetro Michelson. El haz de un láser se expande por medio de un objetivo de microscopio, después se divide en dos por medio de un divisor de haz, los dos haces divididos son reflejados en espejos, vuelven a pasar por el divisor de haz y juntos chocan en una pantalla. Como los caminos ópticos recorridos individualmente por cada haz son diferentes y la luz se comporta como una onda, al chocar ambos haces en la pantalla, estos se superponen, teniendo así franjas donde se tienen puntos máximos y mínimos de intensidad, lo cual es causado por el comportamiento ondulatorio de la luz. El equivalente modal de este interferómetro puede ser construido en fibra óptica por medio de un adelgazamiento que tendría la función del divisor de haz. La Fig. 2 muestra el arreglo esquemático del interferómetro de fibra óptica tipo Michelson. Circulador Adelgazamiento Cara plana (reflexión ~4%} Salida (patrón de interferencia ) Fig. 2. lnterferómetro Michelson de fibra óptica. La luz es acoplada a la fibra en el puerto 1 de un circulador, la luz acoplada en el puerto 1 se transmite al puerto 2 del circulador que es donde se tiene conectado un adelgazamiento de fibra óptica. Cuando la luz en el núcleo de la fibra se propaga por la parte delgada del adelgazamiento, se provoca una transferencia de una parte de la luz hacia el revestimiento de la fibra, después ambas fracciones de luz (en el núcleo y en el revestimiento) se propagan a diferentes velocidades, debido a la diferencia de índice de refracción del núcleo y el revestimiento, por una sección de fibra estándar. �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN/ FÍSICA Al llegar al final de la sección de fibra estándar, un porcentaje de aproximadamente 4% (valor teórico encontrado por medio de las ecuaciones de Fresnel, las cuales describen la magnitud de reflexión y transmisión de las ondas electromagnéticas en la frontera que divide a dos medios de diferentes índices de refracción) de la energía total que se propaga es reflejada de vuelta hacia el adelgazamiento, al pasar por el adelgazamiento la luz del revestimiento se vuelve a transferir al núcleo de la fibra y se transmite al puerto 3 del circulador, que es donde se genera el patrón de interferencia debido a la diferencia de velocidades de las dos porciones de luz que se recombinaron e interfirieron entre sí. La Fig. 4 ilustra el arreglo experimental usado para la caracterización del interferómetro a curvatura. Hoja detg•d• de m~af (donde €4 tnterfefQmetfO ,~ mor'ltado) ..... Est.ción linNr detra.slad6t1 6ptic:a .,_ Clt<uNldor ..... 6ptio La diferencia de camino fase o camino óptico generado en un interferómetro Michelson de fibra óptica de estas características está dado por la expresión [9]. ,... _ 4rc.ó. n,a:L '+'>.. (1) Resultado experimental El interferómetro Michelson fue fabricado por medio del empalme de una fibra óptica estándar a una fibra adelgazada con ayuda de una empalmadora de fibra óptica, después se hizo un corte en la fibra estándar con una cortadora de fibra con el propósito de obtener una cara plana que proporcionara un -4% de reflexión (Fig. 2). Después de fabricar el interferómetro Michelson su espectro fue medido con ayuda de un analizador de espectros ópticos; la Fig. 3 muestra el espectro del interferómetro. -1.5 - (\ (\ (\ -2 .0 éñ \ (\ (\ (\ ~ .,,., .,, -2.5 V ·¡¡; e ~ -3.0- v V V \J \ -3.5-4 .0 • ' 1532 1536 . 1540 La fórmula de la ecuación 2 fue utilizada para calcular el radio de curvaturaal cual fuesometidael interferómetro [5]. 1 2D (2) Donde res el radio de curvatura, Des la máxima deflexión de la hoja delgada de metal, y ses la mitad de la distancia horizontal de la hoja delgada de metal comprimida (Fig. 4). Se tomaron los espectros correspondientes a diferentes radios de curvatura del interferómetro Michelson con un analizador de espectros (OSA) de una resolución de 0.03 nm en longitud de onda y -90dBm ( l pW) en intensidad. La Fig. 5 muestra los diferentes espectros con su respectivo radio de curvatura que fue calculado con la fórmula 2, en donde las dimensiones D y s fueron tomadas con la ayuda de un vernier. Considerando las características de nuestro instrumento de medición, la incertidumbre para la determinación del radio de curvatura fue de + 0.03nm en longitud de onda y + 1pW en intensidad. o r(mm) - -105250 99876.84 92937.76 90005.38 88124.46 8541 4.01 82606.09 78667.68 75732.67 72757.29 ·- · 70898.48 -1 1544 1548 Longitud de onda (nm) Fig. 3. Espectro del fabricado. Fig. 4. Arreglo experimental para la caracterización a curvatura del interferómetro Michelson. interferómetro in -2 ~ Michelson ., -o -o ·¡¡; e ~ .s Con el propósito de someter el interferómetro de fibra óptica a doblamientos de ciertos radios de curvatura, este se montó en una hoja delgada de metal s im ilar a una regla metálica, la cual se doblaba a diferentes radios de curvatura al ser esta comprimida desde sus extremos. -3 -4 -5 -6 1530 1533 1536 1539 154 2 1545 1548 Longitud d e onda (nm) Fig. 5. Espectros del interferómetro Michelson sometido a diversos radios de curvatura. �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN /FÍSICA Después de analizar las mediciones correspondientes a diferentes radios de curvatura del interferómetro, se puede observar de la Fig. 5 que el espectro sufre un desplazamiento hacia la izquierda al disminuir el radio de curvatura en el interferómetro. Al someter el interferómetro a un radio de curvatura correspondiente de 105250 mm su espectro se comporta como curva negra punteada de la Fig. 5, después al ir disminuyendo el radio de curvatura se observan las curvas de los espectros para los radios de curvatura en forma decreciente desde 99876.84 mm a 70898.48 mm, los cuales se van desplazando a la izquierda y van aumentando su amplitud. La Fig. 6 ilustra la dependencia que tiene la longitud de onda del interferómetro con el radio de curvatura al cual es sometido. Esta dependencia puede ser ajustada linealmente con una pendiente de aproximadamente l.38xl0 4 nm/mm. 1538 Ee • - lnformacion experimental La Fig. 7 muestra la variación de la visibilidad al cambiar el radio de curvatura del interferómetro. Esta respuesta también puede ser ajustada linealmente con una sensibilidad de aproximadamente 7.66xJ0~U.A./mm. 0.30 • - Resultados expeñmentales Ajuste lineal V=-7.22X10..r+~ ·1 0.25 u <ll ;Q 0.15 :e :!11 0.10 > 0.05 0.00 -'-~~-~~~-~~~-~~~~..,...., 70000 77000 84000 91000 98000 105000 Radio de curvatura (mm) Ajuste lineal i -1.38X1o-4 r+1523.91 Fig. 7. Visibilidad de de interferencia 1536 las franjas versus espectrales curvatura ~ ,< Discución y conclusiones .e g> 1534 CI) «i > (ll 3: 1532 88000 80000 72000 64000 56000 r (mm) Fig. 6. Longitud de onda versus curvatura. Considerando el interferómetro como un sensor de curvatura, la pendiente representa la sensibilidad en términos de desplazamiento espectral para la medición de radio de curvatura. Otro parámetro que es dependiente del radio de curvatura es la visibil idad de las franjas que está relacionada con la amplitud que conserva la modulación presente en el espectro del interferómetro. La visibilidad se puede calcular mediante la siguiente ecuación [5]. V= I - / . ma."C mm /max + /min (3) Donde 1max e / min. , corresponden a la intensidad máxima y mínima del periodo de la modulación espectral. Debido al rompimiento de la simetría cilíndrica que la fibra óptica tiene por medio de un adelgazamiento, se genera una perturbación en a luz guiada dentro de la fibra. De acuerdo a las propiedades fisicas del adelgazamiento, esta perturbación puede ser sensible a diversos parámetros. En este trabajo, el adelgazamiento usado tenía propiedades que hacían sensible e l mismo adelgazam iento a cambios de dobles, es decir curvatura. Al doblar el adelgazamiento a c iertos rad ios de curvatura la simetría del perfi l de índice de refracción de la fibra adelgazada cambia, generando así un desplazamiento espectral de la luz guiada por el adelgazamiento, igualmente de este desplazamiento también se generó una variación del contraste de modulación del patrón interferométrico generado por la luz al ser guiada por el adelgazamiento. Aprovechando estas características de l dispositivo se puede implementar un sensor de curvatura cuya medición se puede hacer por medio de desplazamiento espectral o medición de visibilidad sobre el espectro del dispositivo. �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 En conclusión, se ha demostrado un sensor de curvatura de fibra óptica basado en un interferómetro Michelson generado por medio de un adelgazamiento. El dispositivo se conforma de un adelgazamiento de fibra óptica empalmado a un segmento de fibra óptica estándar cuyo extremo final tiene una cara plana capaz de generar un -4% de reflexión de luz. Al doblar el dispositivo se genera una ruptura geométrica de la simetría, que causa un desplazamiento espectral junto con un incremento del contraste de la modulación espectral en el espectro del dispositivo. Esta respuesta puede ser considerada lineal con sensibilidades de l.38XI0-4 nm/mm y 7.22X I0-6U.A./mm para desplazamiento espectral y cambio de visibilidad, respectivamente. Usando este dispositivo como sensor, la medición de curvatura se puede realizar por medio de desplazamiento espectral o cambio de visibilidad. El sensor presentado en este trabajo es compacto, simple y barato; asimismo cuenta con las ventajas de la fibra óptica, tales como: inmunidad electromagnética, resistencia a medios ambientales corrosivos, resistencia a altas temperaturas, bajo peso, respuesta rápida, etc. INVESTIGACIÓN/ FÍS ICA Referencias [I] Jesus Castrellon-Unbe (2012). Optrcal Frber Sensors: An Overvrew, Ftber Optrc Sensors, Dr Moh. Yasm (Ed ), ISBN· 978953-307-922-6, JnTech., Avrulable from· http://www.mtechopen.com/ books/fi ber-opt1csen.<;0rs/op1Jcal-fiber-sensors-an-overv1ewAlexie, S. ( 1992). The business of fancydancmg: Stones and poems. Brooklyn, NY· Hang Loose Press. [21 Gurllermo Salceda-Delgado. Alejandro Mamnez-R10s, And David Monzon-Hemandez, Tatlonng Mach-Zehnder comb-filters based on concatenated tapers, Joumal of ilghtwave technolog) (2013). 31 (5). 761-767. [3] D. Monzon-Hemandez, A.Martmez-Rros. l. Torres-Gomez. ru1d G. 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Duran-Ranmez. ·nulormg !he output laser wavelength of fiber lasers by the mtra-cavrty mscnptmn of LPFGs, Microwave and optJcal technolo!l) letters(2016), 58(6), 1430-1433. [81 A. Martmez-Rros, G. Anzueto-Sanchez, D. Monzon-Hemandez, G. Salceda- Delgadop, J. Castrellon_unbe, Mul!Jwavelength swttchmg of a broadband tunable s-bent fiber filler, Opt1cs & laser technolo!l)' (2014), 58(32), 197-201. [9J Z. T1ru1. S. Yan1. and l·L P. Loock. Refract1ve mdex sensor based on an abrupt taper M1chelson 235 m1erferometer m a smgle-mode fiber. Opt. Letl 2008, 33. 1105-1107. https://dm.org/l0.1364/ OL.33.001 105. Datos del autor Guillermo Salceda Delgado Ingeniero Electromecánico del Instituto Tecnológico de León (ITL). Maestría y doctorado en ciencias óptica en el Centro de investigaciones en Óptica (CIO). Actualmente laborando en la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL) como Profesor Investigador de Tiempo Completo. Las lineas de aplicación y generación del conocimiento que genera son en Fotónica y láseres de fibra óptica. Dirección del autor: Av. Pedro de Alba SIN, Ciudad Universitaria, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, 6645 1, México. E-mail: guiJlermo.saJcedadl@uanJ.edu.mx �INVESTIGACIÓN /ASTROFÍSICA CELERINET JULIO· DICIEMBRE 2017 , , ECLIPSES , UN FENOMENO HISTORICO PARA LAS ARTES Y LAS CIENCIAS Ángel E. Sánchez Colín UANL - FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: En este artículo se pretende hacer un acercamiento a los albores de la primera civilización en el noreste de México en donde se revela una posible actividad de observación astronómica cuya evidencia quedó registrada en diversos petroglifos que datan aproximadamente de 7,500 años; los cuales, se encuentran distribuidos en las rocas de una colina en una zona arqueológica que se encuentra ubicada a 60 km de la ciudad de Monterrey. En este trabajo, el Sol, la Luna y los eclipses, son los principales elementos de estudio. Para esto, se tomaron fotografías de los petroglifos en el sitio arqueológico. Por otro lado, se elaboró una secuencia de imágenes durante el eclipse parcial de Sol, ocurrido el pasado 21 de agosto de 2017. Estas imágenes fueron tomadas utilizando un filtro solar adaptado a un telescopio convencional de 80 mm de diáinetro, acoplado a una cámara comercial tipo réflex. Palabras claves: eclipse, astronomía, arte rupestre �CELERINET JULIO• DICIEMBRE 2017 Introducción La historiografia del arte y las ciencias es amplia y diversa, por lo que realizar un estudio único que las incluya no es tarea fácil para nuestra época, porque en ocasiones puede resultar ambiguo e incompatible, sobre todo por la discrepancia que hay en las actividades que desempeña cada una de estas disciplinas. En las ciencias fisicas, los fenómenos de la naturaleza se estudian y analizan mediante modelos fisicos y matemáticos. Algunos de ellos, pueden llevarse a la técnica experimental para reproducirlos a diferentes escalas. La materia y su interacción con la naturaleza son las bases para su estudio y la experimentación. En las artes visuales, las ideas y los pensamientos creativos se materializan mediante una variedad de técnicas empleando diferentes soportes para poder visualizarlos. Lo bello y lo estético han sido considerados como un aspecto importante para su estudio y la producción artística; por consiguiente, es de esperar que las definiciones de arte y ciencia que encontramos en los diccionarios, difieran entre sí [ 1]: "Arte: es una obra o actividad con la que el ser humano expresa un aspecto de la realidad o un sentimiento mediante recursos plásticos, de lenguaje, sonoros, etc " INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Las diferentes asociaciones de signos, pictogramas e ideogramas, condujeron a nuestros antepasados a establecer los primeros lenguajes simbólicos de comunicación, aproximándose a la escritura y posiblemente, a los primeros sistemas de conteo, los cuales relacionan eventos astronómicos observados a simple vista, o a sus eventos cotidianos. Esto nos demuestra que al menos, los ancestros tenían dominio de una aritmética básica muy elemental, utilizada como herramienta matemática. La evidencia nos muestra que además del pensamiento racional utilizado en el conteo de los eventos poseían habilidades creativas asociadas a sus creencias místicas y las utilizaban para representar los objetos y animales del entorno que habitaban. Como recursos, utilizaban las herramientas rudimentarias y pigmentos policromos que ellos mismos elaboraban. El soporte eran las rocas situadas en el entorno, a la intemperie o en las paredes del interior de las cavernas. El sentido común nos dice entonces, que tanto las artes como las ciencias, juegan un papel muy importante en la vida de todos los seres humanos; lo han hecho desde el inicio de las civilizaciones y hasta el presente, porque ambas se encuentran implícitas en las actividades que realizamos día con día. Las primeras observaciones astronómicas "Ciencia: es un conjunto de saberes que se obtienen por observación y razonamiento y se estructuran metódicamente paradeducirprincipiosy leyes generales". No obstante, existe una posibilidad de que las artes y las ciencias hayan surgido de manera simultánea; puesto que los vestigios más antiguos muestran que ambas han convivido con la humanidad desde el origen de las civilizaciones. Hasta ahora, se han encontrado pinturas rupestres y petroglifos que datan de 40,000 y 60,000 años respectivamente; los cuales se encuentran esparcidos en distintos lugares de la Tierra [2-5]. En ellos se puede apreciar con facilidad la representación monocroma o policroma de animales, figuras antropomorfas, signos y pictogramas que pueden ser interpretados como acontec1m1entos astronómicos, fenómenos naturales, actos vivenciales o rituales místicos. En la actualidad, el trabajo de nuestros antepasados sigue siendo cuestionado y analizado para ser incluido en el mundo del arte o en el mundo de las ciencias. Esto es debido a que no se tienen evidencias de que estos trabajos hayan sido elaborados "empleando conscientemente una teoría artística" [6], o una "teoría científica" [7]. La observación de los astros y del cielo nocturno nos ha llamado la atención en todo momento. La Luna, el Sol y las Estrellas, han jugado un papel muy importante en todas las culturas que han surgido en nuestro planeta desde el origen de la primera civilización. Uniendo elementos pictóricos, creencias místicas y filosóficas, así como un conteo preciso de la periodicidad con que ocurren los eventos astronómicos, la humanidad ha creado diversas estrategias para la supervivencia basándose en la observación y predicción de estos eventos astronómicos. El Sol es quizás a quien se le han otorgado la mayor cantidad de atribuciones, como pueden ser: "la máxima divi nidad masculina", "el padre creador de la vida" o "la fuente de vida inagotable". En contraste, a la Luna se le han atribuido solo algunos de los aspectos complementarios: como s, se tratara de una "deidad femenina". Mientras que a la Tierra, en todos los lugares se la ha considerado como "la madre reveladora de la vida", que nutre y abastece de alimento a todos los seres vivos. �INVESTIGACIÓN/ ASTROFÍSICA CELERINET JULIO• DICIEMBRE 2017 Por otro lado, las estrellas y constelaciones han servido como fuente de inspiración e imaginación para crear todas las mitologías. En la práctica, las constelaciones sirvieron para la orientación durante las primeras migraciones realizadas y sirvieron también durante los últimos viajes transatlánticos que se llevaron a cabo sin los modernos avances tecnológicos, establecidos en los actuales sistemas de navegación marítima y satelitaL El respeto, la admiración y la curiosidad que sentimos con respecto a estos astros, nos ha conducido a elaborar y registrar los acontecimientos que ocurren con ellos mediante diversas representaciones. Lo hemos hecho desde un petroglifo, hasta una fotografia de alta definición tomada con instrumentos muy sofisticados. Todo con el fin de comprender estos fenómenos, para estudiarlos y para dar testimonio de nuestra presencia como observadores en el tiempo y en el escenario donde ocurren. La fotografia que se presenta en la Fig. 1, nos muestra un petroglifo con una posible representación de un acontecimiento astronómico, en el que se asume al Sol como elemento principal. Se observa también dos secuencias de puntos alineados, los cuales, en este contexto representativo, podría asumirse que se trata de las cuentas del acontecimiento observado. En otras palabras y de manera más arriesgada, podríamos asumir que los puntos corresponden con los días transcurridos durante la observación. Dentro del mismo contexto, en la Fig. 2, se aprecia una representación de acercamiento o alejamiento de dos astros, pudiéndose tratar de la Luna y el Sol, ya que en algunas ocasiones ambos pueden ser visibles durante el día, pero nunca durante la noche; o bien, podría tratarse de un acercamiento de dos estrellas muy brillantes, pudiendo referirse a un alineamiento de planetas observados en el cielo nocturno. Asumiendo la primera opción, el sentido común nos dice que el observador fue testigo de un eclipse total de Sol y que debió haberle causado una impresión como para haberlo grabado en una piedra. Independientemente de la veracidad de estos supuestos, ambos quedaron registrados en las rocas de una colina, ubicada aproximadamente a 60 km hacia el noreste de la ciudad de Monterrey, en el Estado de Nuevo León, México. Esta zona arqueológica, denominada Boca de Potrerillos, ha sido ampliamente estudiada en años anteriores y nos revela una antigüedad aproximada de 7,500 años [8]. Fig. 1. Imagen de un petrograbado, que muestran la posible representación de un acontecimiento astronómico. (Fotografía tomada por el autor en Boca de Potrerillos, Nuevo León, México. Colección privada). Fig. 2. Ídem al anterior, pero con la posible representación de un eclipse. (Fotografía tomada por el autor en Boca de Potrerillos, Nuevo León, México. Colección privada. Astronomía amateur contemporánea Con el advenimiento de las nuevas tecnologías informáticas, el acceso a las fuentes de información nos permite estar comunicados y enlazados en casi todas partes del mundo; sobre todo cuando se trata de un acontecimiento de interés mundial. El pasado 2 I de agosto de 2017 ocurrió un eclipse solar, el cual fue visto de manera total y parcial en diversos países. Además, fue transmitido y publicado por casi todos los medios de comunicación. La curiosidad de las personas, el afán de los aficionados a la astronomía y los astrónomos profesionales, ese día dirigimos nuestras miradas hacia el cielo para contemplarlo, fotografiarlo, documentarlo y estudiarlo; es decir, para dar testimonio de nuestra presencia en este escenario, tal y como lo hemos hecho desde nuestros orígenes. �CELERINET JULIO· DICIEMBRE 2017 Lo único que ha cambiado son los instrumentos con que hacemos los registros. Hoy día, utilizamos imágenes digitales adquiridas mediante cámaras y telescopios que nos perm iten su reproducción y su almacenamiento en las memorias de computadoras, o en la "nube" de la información, que es accesible a ella en todo momento. INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Estamos acostumbrados a mirar a simple vista las fases de la Luna; un ciclo que se repite aproximadamente una vez al mes, pero en ocasiones, pasa desapercibido a nuestros ojos porque estamos adentrados en nuestras actividades cotidianas. A veces se piensa que la tecnología nos ha vuelto insensibles a la observación y apreciación de los fenómenos naturales. Lo cierto es que sucede lo contrario, porque ahora podemos acceder a instrumentos económicos que superan a la mayoría de nuestras capacidades fisicas. Dichos instrumentos, los podemos maniobrar de manera fácil y sencilla. Por ejemplo, con una cámara fotográfica, podemos tomar una imagen directa del Sol y conservarla para una contemplación posterior o simplemente para utilizarla conforme a nuestros propios intereses, como es el caso que se muestra en la Fig. 3. Conociendo un poco la metodología de observación astronómica y empleando algunos de los instrumentos antes mencionados, uno puede acercarse también a los fenómenos astronómicos que ocurren periódicamente en el espacio exterior, como el reciente eclipse parcial de Sol, ocurrido el pasado 21 de agosto de 2017. La secuencia de imágenes mostradas en la Fig. 4, fueron obtenidas de manera directa y manual, mediante un telescopio convencional de 80 mm de apertura, con un filtro solar acoplado y una cámara fotográfica réflex. Los tiempos de exposición fueron del o rden de 1/2000 s. En esta secuencia, se puede apreciar un ligero cambio en la posición de las manchas solares, el cual es debido al movi miento rotacional de la Tierra sobre su propio eje. El eclipse dio inicio a las 11 :43h, y terminó a las 14:34h (tiempo local en la ciudad de Monterrey), con una duración total de 2 horas y 5 1 minutos. Fig. 3. Imagen del Sol, tomada el 21 de agosto de 2017, minutos antes del eclipse. (Fotografía tomada por el autor en, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México. Colección privada). Fig. 4. Secuencia del eclipse parcial de Sol, el 21 de agosto de 2017. (Fotografías tomadas por el autor en, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México. Colección privada). �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Estas fa~es lunares no son otra cosa que un eclipse, ocasionado por la Tierra al interponerse entre la Luna y el Sol. El ciclo de repetición es tan corto y predecible, que le restamos importancia. En la Fig. 5, podemos observar la imagen en fase creciente de la Luna, tomada una semana después del eclipse solar con el mismo telescopio y adaptado a la misma cámara fotográfica. De este acontecimiento no hubo publicaciones en ninguno los medios, tampoco se organizaron campañas mundiales de publicidad para la observación, ni mucho menos se hicieron comentarios al respecto durante la noche ... tampoco al día siguiente. Referencias (IJ Garduño Lamadnd J. (Ed.). (2015) básico escolar. México: Larousse S.A. [2J del Bednank Robert G. ( 1998). espintu creador. El correo [3] de Anatt Emmanuel ( 1998). la escntura. El correo de D1ccmnarm de C. V. Los pnmeros tesumomos de la UNESCO. 4-10. Una escntura la UNESCO. anles 11- 16. [4] P1keA.W.G. Hoffinann D.L.. Garcia-DtezM .. etaJ .. (2012). U-Senes datmg ofpaleohth1c art m 11 caves m Spam. Sc1ence. 336. 1409-14013. (5] Pillan_~ Bracl. Ftfield L. Ke1th. (2013 ). Erosion rates and weathermg lusto() ofrock surfaces assocrated w1th Abongmal rock art engravmgs ! perroglyphs) on Burrup Penmsula.. Western Austral ta, from cosmogemc nuchde measurements. Quatemary Sc1ence Rev1ews. 69, 98-106. [6] D1ck1e George. 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Licenciado en Física, graduado en 1999 por la Universidad Autónoma de Baja California. Realizó sus estudios de Maestría en el año 2002 en la Universidad de Granada, España y en el 2006 concluyó su tesis doctoral en el Instituto de Radio Astronomía Max Planck, en Bonn, Alemania. Actualmente, es Profesor-investigador en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL. Sus principales líneas de investigación se enfocan en instrumentación astronómica y tecnología de satélites miniaturizados. Dirección del autor: Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Departamento de Posgrado Av. Universidad sin, Ciudad Universitaria 66455 San Nicolás de los Garza, Nuevo León - México Teléfono: +52 (8 1) 83 29 40 30 ext. 7 162 E-mail: angel.colin@fcfm .uanlmx �CELERINET JULIO· DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Ángel E. Sánchez Colín UANL - FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: En este artículo, se describe una aproximación historiográfica sobre el origen de la astronomía moderna y el papel que esta disciplina desempeña actualmente en algunas sociedades de libre pensamiento como la masonería, en donde todavía se conserva el tradicional concepto de las artes liberales para sus temas de estudio. Palabras claves: astronomía, artes liberales, quadrivium, masonería �INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Introducción En la historia de las grandes civilizaciones, se muestra un alto grado de avance y progreso intelectual, resultado de la práctica constante y el dominio empírico de las artes y las ciencias. En orden cronológico: Asia oriental, Egipto, los países árabes, Europa central y Centroamérica, nos han revelado el desarrollo que alcanzaron en su época de esplendor, así como el gran conocimiento de los astros, de la medicina y de la ingeniería. Sin embargo, hemos aceptado que las primeras instituciones educativas, comenzaron a surgir en Grecia a partir del siglo V a.c. y que fueron establecidas por los grandes pensadores de aquélla época, en la que se gozaba de una civilización política y económica bien estructurada. Se cree que en Europa, Pitágoras fue uno de los pioneros en formular lo que se conoce hoy día como un programa educativo, el cual fue refinando las enseñanzas hasta llegar a siete materias esenciales, conocidas siglos más tarde como las siete artes Iiberales [ 1]. CELERINET JULIO• DICIEMBRE 2017 La gramática como es sabido, estudiaba toda la estructura del lenguaje. La dialéctica servia para mostrar la verdad a través del razonamiento y la retórica, era utilizada para hablar y escribir el lenguaje con prudencia y elegancia. La aritmética se encargaba de enseñar todas Ias cual ida des secretas de los números "sagrados", mientras que la geometría, de registrar gráficamente el desarrollo de los números en el espacio [ 1]. En la música, las relaciones armónicas de las notas musicales eran estudiadas como un medio artístico que permite transmitir el mundo interior de la persona y ser percibido por otra, a través de los oídos. Además, estas notas musicales eran relacionadas con los siete planetas conocidos, constituían el fundamento esencial para los estudios de la astronomía y del cosmos, el cual estaba contenido en su totalidad en siete "esferas celestes" y una octava más en la que se movían las estrellas como se muestra en el dibujo esquemático de la Fig.1, basado en el modelo de Aristóteles. EL UNIVERSO ARISTOTÉLICO A Marciano Capela (360-428 d.C.), se le atribuye que es uno de los primeros escritores del s iglo V d.C., que dejaron registrados los nombres de las siete artes liberales. En su libro "Las nupcias de Filología y Mercurio", se encuentran clasificadas en dos partes: el Trivium (del latín: tres caminos) que comprende: Gramática, Dialéctica y Retórica; y el Quadrivium (del latín: cuatro caminos) que comprende Aritmética, Geometría, Música y Astronomía (2, 3]. El conocimiento de estas s iete materias, tradicionalmente conducía a los seres humanos, hacia la búsqueda de su fuente creadora, de su origen divino. El conocimiento del alma y la práctica de los valores uni versales: verdad, belleza y bondad, aunados a los conocimientos que tenían del mundo fisico-inteligible, eran los principales medios para llegar a una comprensión unificada y profunda tanto del universo material como del universo sensorial. Fig.1. Dibujo esquemático basado en el modelo de Aristóteles. Fuente: https://mapy-fisica.wikispaces. com/Pagina+1 (Recuperado: 15/08/2017). Fig. 2. Giovanni dal Ponte. (1435). Las siete artes liberales, Temple/tabla, 56 x 155 cm. Fuente: Colección Museo del Prado, Madrid-España. https://www.museodelprado.es/coleccion/obra-dearte/las-siete-artes-liberales/89d9f351-fff6-4141-9efc-d5ea2951 b488. (Recuperado: 15/08/2017). �CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 Origen de la astronomía moderna En los albores de la edad media (s. XJil d.C.), la hegemonía de la iglesia católica, junto con la fe cristiana, habían sido difundidas e impuestas en casi toda Europa, por lo que la enseñanza de las artes liberales pasó a ser custodiada por los clérigos, quienes también custodiaban y fungían como mecenas de los artistas contemporáneos; un ejemplo de ello se puede apreciar en la imagen pictórica medieval de las artes Iiberales, en la que el artista representa a la astronomía como la figura central (Fig. 2). Algunos filósofos de la época como Ramón Llull ( 1232- 1316), llegaron a pensar que la ciencia era un don otorgado por Dios, para estar al servicio de la fe, mientras que la ciencia por aprendizaje en las escuelas era banal e intrascendente, y que la astrología, la cual estaba mezclada con la astronomía, era considerada la más noble de todas las ciencias antes de la teología porque pretendía estudiar las cosas próximas a Dios [4]. Pero el raciocino y libre albedrío del ser humano es amplio y diverso. Nos crea la necesidad de tener un conocimiento propio, sin darle atribuciones a la "Divinidad"; ya sea, para comprender las leyes que rigen en el universo; las causas y el origen de nuestra existencia o el momento que nos toca vivir inmersos en una sociedad establecida. Los astrónomos del siglo XV d.C, posiblemente fueron quienes manifestaron con mayor énfasis esta controversia hacia las creencias de la iglesia católica, a pesar de contar con una formación académica que incluía estudios teológicos y ellos mismos eran fieles adeptos a la fe cristiana. Las estrellas descubiertas por el astrónomo danés Ticho Brahe ( 1546-1601 ), así como las teorías de Nicolás Copémico ( 1473-1543), eran difundidas con bastante discreción entre la comunidad académica debido al temor por la persecución de los inquisidores; como podrá recordarse lo que sucedió a Giordano Bruno ( 1548-1600), quien fue excomulgado y ejecutado por la inquisición. Pese a ello, Johannes Kepler (1571 -1 630) y Galileo Galilei ( 1564- 1642), continuaron la teoría copernicana para forjar los cimientos de la "nueva ciencia". Galileo fue perseguido por la inquisición durante muchos años, hasta que en 1635, bajo pena de muerte, su vida fue perdonada luego de haberse retractado a sus teorías [5]. Esto despertó la indignación de muchos intelectuales de la época, lo que dio inicio a una serie de cambios en casi todos los sectores académicos, generando un formalismo a las ciencias físicas o naturales, químicas, matemáticas y a la medicina. INVESTIGACIÓN/ ASTROFÍSICA La época del Renacimiento, había propiciado el surgimiento de una generación de artistas-tecnólogos, puesto que muchos de ellos, poseían aparte de su habilidad artística, la destreza e inventiva para crear artefactos ingenieriles, útiles para construir y transportar suspropiaspiezasescultóricas,producirsupinturaabasede pigmentos y substancias químicas o diseñar la maquinaria necesaria en proyectos tecnológicos y arquitectónicos. Fueron pocos los artistas que incursionaron en el terreno de las ciencias: Leonardo Da Vinci ( 1452- 1519) y León Battista Alberti ( 1404-1472), son quizás los personajes que destacaron en la historia por haber desarrollado y llevado a la práctica la mayor serie de talentos multidisciplinarios [6-8]. No está por demás, mencionar las habilidades artísticas de Galileo, su dominio en la pintura y en la óptica (llamada en aquél tiempo "perspectiva"), fueron de gran utilidad para sus descubrimientos en astronomía y en el diseño de sus telescopios. La "perspectiva artificial", definida como el conjunto de especulaciones y técnicas de representación del espacio, junto con la geometría y las nociones del concepto "espacio-tiempo", constituyeron las bases para que las teorías de Galileo e Isaac Newton ( 1643-1727) pudieran desarrollarse y para que los científicos contemporáneos, pudieran mostrar el "espacio geometrizado" como una representación gráfica que se extiende infinitamente en las tres dimensiones [9]. Pero, aunque la perspectiva ha resuelto los problemas de la representación espacial de las imágenes, todavía sigue siendo considerada como una ambigüedad de la tercera dimensión, puesto que es realizada en un plano de dos dimensiones [l O]. Preservación de las artes liberales La reestructuración social, política y eclesiástica, ocurrida en Europa durante los s iglos XVII y XVITl, tuvo como consecuencias la creación de un movimiento intelectual en el que contribuyeron grandes personajes para contrarrestar las hegemonías establecidas por la iglesia y el estado. Dicho movimiento conocido con el nombre de "la Ilustración", tenía como fina lidad proporcionar a la humanidad una serie de conocimientos para que por medio de la razón, les permitiera combatir la ignorancia, la superstición y la tiranía para construir una mejor sociedad. Durante este movimiento social emergieron diversas sociedades de librepensamiento en las que se afi liaron un gran número de intelectuales y personas cultas. Se cree que la Franc-Masoneria, fundada el 24 de junio de 1717 en Inglaterra, auspició al mayor número de los personaJes " ilustrados", destacados en este movimiento. �CELERINET JULIO • DICIEMBRE 2017 INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Poco tiempo después, la Franc-Masonería fue establecida en otros países europeos como Francia, Alemania y España; mientras que en los paises de América llegó a establecerse hasta principios del siglo XIX. La Franc-Masonería tiene su origen en las antiguas organiz.aciones de albañiles que en la época medieval construían las catedrales, de ahí su nombre "FrancMasón o Albañil Libre", porque no tenía la obligación de pagar impuestos [ 11]. Por tanto, la FrancMasonería en ese tiempo fue considerada únicamente de carácter operativo; mientras que en la actualidad, es considerada de carácter especulativo-simból ico. En ocasiones se le ha nombrado "Masonería Litúrgica", porque práctica una serie de rituales representativos de acontecimientos astronóm icos [12], cuya interpretación, puede estar enriquecida, ilustrada y ornamentada por una estética muy particular y propia, la cual ha conducido en la comunidad académica a establecer nuevas metodologías multidisciplinarias y precisas para su anál isis y estudio (13]. La estética masónica es concebida por los miembros masones como un "arte sagrado", un "arte real" basado en la simbología universal que reúne los símbolos empleados en la mayoría de las culturas ancestrales. En nuestros días, dicha s imbología, los recursos iconográficos e históricos propios del "arte real masónico" en sus escalas de aprendizaje, incluyen en ocasiones una vía que les conduce al estudio de las artes liberales, como puede verse de manera representativa en la Fig. 3. En esta figura, se muestra una escalera curva, ascendente, constituida por 3, 5 y 7 peldaños con adscripciones que corresponden a los conocimientos que debe asimilar el aprendiz, el compañero y el maestro masón, respectivamente. ..,., '-"'""'"= 00.1(.'. - - ""':~L... -~- TU~N - s É -::::.:-=-:-::-::;; .,__.M. . ' - -;~~===~~~; . . . .-·-· ¡¡¡ .' .. -.... '. ' Fig. 3. Dibujo esquemático de una escalera para el aprendizaje masónico que incluye el estudio de las artes liberales. Fuente: http://gaceta.glpa.es/lossimbolos-masonicos/ (Recuperado: 15/08/2017). En la Fig.4, se muestra un libro abierto como figura central, donde se observa en una de las páginas, a los símbolos de cuatro signos zodiacales, representando a las constelaciones fijas (Acuario, Leo, Escorpio y Tauro). Las estrellas más brillantes de c.ada constelación, forman una cruz en el espacio, cuyas líneas imaginarias intersectarían a nuestro Sol en su punto de intersección; es decir, en el centro. Esta configuración en el espacio sirvió como modelo para establecer un marco de referencia inercial en el espacio y formular la ley de la gravitación universal (14], principio fundamental de la astronomía moderna y contemporánea. Fig. 4. <<© El libro de las ciencias>>. Oleo/tela, 20 x 30 cm, 1997. (Fotografía y obra del autor. Colección privada. © Derechos reservados). �CELERINET JULIO · DICIEMBRE 2017 En la página opuesta del libro, un triángulo rectángulo con tres cuadrados adyacentes a cada uno de sus lados, representa el conocido Teorema de Pitágoras, que sugiere recordar en su origen, a la geometría. La ecuación E= mc2, conocida en la fisica moderna como ley de la conservación de la energía, sugiere el dominio y el conocimiento actual para comprender las leyes que rigen en el universo fisico. INVESTIGACIÓN/ ASTROFÍSICA Referencias [I) Martmeau John. (2015). Quadnv1um. España Libreo b.,. [2) De la Iglesia Jesus. (2001 ). Las artes liberales en la B1bhoteca Real del lsconal. Estudms superiores del Esconal 120-163. 13J Rincón Alvarez Manuel. (20 JO). Reflexiones en tomo a una bóveda. Salamanca, Espafia: l::d1c1ones Universidad de Salamanca. 51-84. El libro descansa sobre un suelo construido sobre tierras áridas a base de baldosas negras y blancas, representando la unificación de los universos fisicos y materiales con los universos sensoriales que pueden conducir a la conciencia universal, representada por un ojo abierto. (4) Da Costa Ricardo. (2006). Las definiciones de las siete artes liberales y mecánicas en la obra de Ramón llull Anales del semmano de lustona de la filosofia. 23. 131-164. Conclusiones [6) Ort1z Isabel (Ed.). (2003). Atlas Ilustrado de Leonardo Da Vmc1: Arte y c1enc1a, las máquinas. España: Susaeta Ed1c1ones S.A. Las Artes Liberales poseen un legado amplio de conocimientos relacionados con la astronomía antigua, el "arte real masónico" es considerado entre los miembros de la masonería universal como una vía de desarrollo personal que incluye en el proceso de su formación, el estudio y la lectura de un compendio de acervos bibliográficos, iconográficos y filosóficos que le permiten adquirir un conocimiento simbólico-cultural para llevarlos a la práctica como una virtud ante una sociedad establecida. [7) Spencer John R. ( 1998). Tratado de pmtura de León Batt1sta Albert1 Londres: Roudegue & Kegan Paul Ltd. Para acercarnos en la hermenéutica masónica, se requiere de una metodología multidisciplinaria en la que se recomienda la participación del artífice de las piezas consideradas para el estudio. Agradecimientos El autor agradece al M. en C. Saúl Alonso Zavala Ortiz, a la Dra. Marcela Quiroga Garza y al Dr. Mario Alberto Méndez Rodríguez por su apoyo y orientación para llevar a cabo este trabajo. [5) de 18) de 19) La Jean Pierre. ( 1990). estrellas Madnd: Maury las Galileo, Agudar Gonzalez Leonardo Garc1a Angel. ( 1986) Tratado Da Vmc1. Madnd: Ed1cmnes Edgerton Samuel y Jr. (2002). Arte en el renacm11ento. Contactos. v1s1ón mensaJero universal. de pmtura Akal S.A. ) 46. ciencia. 15-26. [ 1O) BurucúaJ osé Em1ho. (2003 ). H1stona,arte. cultura DeAby Werburga CarloGmzburg. BuenosAJres,Argentma: Fondo de Cultura Económica. [ 11) Tes1Ja Masonería. Pablo Buenos Mateo. Alíes, (2007). Arte y Argentma: Kter [ 12] Terrones Bemtes Adolfo. (1980). Los 27 temas del maestro ma,;on. Ed1c1ones Valle de México: México. 113] Martm López David (2009). Arte y masonería cons1derac1ones metodológicas para su estudio. REIIMLAC, 1 (2). Costa Rica 17-36. l141 de Mar1on Jerry part1culas y B. (1990) sistemas, D1nám1ca Reverte: clásica Espruia �INVESTIGACIÓN / ASTROFÍSICA Datos del autor Ángel E. Sánchez Colín Licenciado en Física, graduado en 1999 por la Universidad Autónoma de Baja California. Realizó sus estudios de Maestría en el año 2002 en la Universidad de Granada, España y en el 2006 concluyó su tesis doctoral en el Instituto de Radio Astronomía Max Planck, en Bonn, Alemania. Actualmente, es Profesor-investigador en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL. Sus principales líneas de investigación se enfocan en instrumentación astronómica y tecnología de satélites miniaturizados. Dirección del autor: Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Departamento de Posgrado Av. Universidad s/n, Ciudad Universitaria 66455 San Nicolás de los Garza, Nuevo León - México Teléfono: +52 (81) 83 29 40 30 ext 7162 E-mail: angel.col in@fcfm.uanl.mx CELERINET JULIO - DICIEMBRE 2017 �Te invitamos a participar en el Volumen 12 de Celerinet Consulta la convocatoria en celerinet.fcfm.uanl.mx � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Celerinet Description An account of the resource La revista Celerinet, inició en el 2012, sólo en formato digital, es semestral y se mantiene activa; ofrece información de las últimas investigaciones realizadas por docentes, estudiantes y egresados de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, también se encarga de difundir las actividades institucionales más relevantes. La publicación incluye artículos de  investigación relacionados con las siguientes áreas: matemáticas, matemáticas aplicadas, física, ciencias computacionales, actuaría, multimedia y animación digital, y seguridad en tecnologías de información. Text A resource consisting primarily of words for reading. Examples include books, letters, dissertations, poems, newspapers, articles, archives of mailing lists. Note that facsimiles or images of texts are still of the genre Text. Título Uniforme Celerinet Año de publicación El año cuando se publico 2017 Año Año de la revista (Año 1, Año 2) No es es año de publicación. 5 Volumen Volumen de la revista 10 Mes de publicación Mes cuando se publicó Julio-Diciembre Día Día del mes de la publicación 1 Periodicidad La periodicidad de la publicación (diaria, semanal, mensual, anual) Semestral Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Celerinet, 2017, Año 5, Vol 10, Julio-Diciembre Creator An entity primarily responsible for making the resource Martínez Moreno, Partricia, Directora Subject The topic of the resource Física Ciencias Actuariales Educación Matemáticas Multimedia y animación digital Tecnologías de la Información Description An account of the resource La revista Celerinet, inició en el 2012, sólo en formato digital, es semestral y se mantiene activa; ofrece información de las últimas investigaciones realizadas por docentes, estudiantes y egresados de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, también se encarga de difundir las actividades institucionales más relevantes. La publicación incluye artículos de  investigación relacionados con las siguientes áreas: matemáticas, matemáticas aplicadas, física, ciencias computacionales, actuaría, multimedia y animación digital, y seguridad en tecnologías de información. Publisher An entity responsible for making the resource available Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Calderón Martínez, Alma Patricia, Editora Responsable Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 01/07/2017 Type The nature or genre of the resource Revista Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource text/pdf Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context 2020103 Source A related resource from which the described resource is derived Fondo Universitario Language A language of the resource spa Relation A related resource http://celerinet.fcfm.uanl.mx/index.php Spatial Coverage Spatial characteristics of the resource. San Nicolás de los Garza, N.L., México Access Rights Information about who can access the resource or an indication of its security status. 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