https://hemerotecadigital.uanl.mx/files/original/312/20759/Ingenierias_2007_Vol_10_No_36_Julio-Septiembre.pdf eecfb40b5d39f2b0ac9efbaf85cc3a11 PDF Text Text �Contenido Julio-Septiembre de 2007, Vol. X, No. 36 36 2 Directorio 3 Editorial ¿Y si la Tierra se calentara? Ubaldo Ortiz Méndez 6 Estimación fasorial con fasoretas José Antonio de la O. Serna 16 El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones Karla V. Martínez Facundo, Jania A. Saucedo Martínez, J. Ángel Segura Ramiro, Miguel A. Urbano Vázquez, Roger Z. Ríos Mercado 23 La causalidad en la física: Johannes Kepler José Luis Álvarez García 33 Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la detección de clorofenoles Leonor M. Blanco Jerez, Leonardo Jiménez Medina 40 Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey José Oscar Ávila Juárez 47 Los vectores en la física Felipe A. Robledo Padilla, Mónica Menchaca Maciel, Rubén Morones Ibarra 56 Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético Jimmy Loaiza Navía, Jorge Bernal Pérez, Manuel F. Carlín Gutiérrez 64 450 años de igualdad... matemática Carlos Prieto de Castro 66 Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles Luis Gaete Garretón, Yolanda Vargas Hernández, Alain Chamayou, John Dodds 73 Eventos y reconocimientos 75 Titulados a nivel Maestría en la FIME-UANL 77 Acuse de recibo 78 Colaboradores 81 Información para colaboradores Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 1 �INGENIERÍAS es una publicación trimestral arbitrada de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León, dirigida a profesionistas, profesores, investigadores y estudiantes de las diferentes áreas de la ingeniería. La opinión expresada en los artículos firmados es responsabilidad del autor. No se responde por originales y colaboraciones no solicitadas. Se autoriza la reproducción total o parcial de los artículos siempre y cuando se solicite formalmente, se cite la fuente y no sea con fines de lucro. La correspondencia deberá dirigirse a: Revista Ingenierías, Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, UANL, A.P. 076 “F”, Ciudad Universitaria, C.P. 66450, San Nicolás de los Garza, N.L., México. Tel: (52) (81) 8329-4020 Ext. 5854 Fax: (52) (81) 8332-0904 Correo Electrónico: revistaingenierias@gmail.com fjelizon@mail.uanl.mx jaguilargarib@gmail.com Página en Internet: http://ingenierias.uanl.mx Ingenierías está indizada en: Latindex, Periódica, CREDI, DOAJ. ISSN: 1405-0676 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Rector / M.C. José Antonio González Treviño Secretario General / Dr. Jesús Ancer Rodríguez Secretario Académico / Dr. Ubaldo Ortiz Méndez Secretario de Extensión y Cultura / Lic. Rogelio Villarreal E. DIRECTOR M.C. Fernando Javier Elizondo Garza EDITOR Dr. Juan Antonio Aguilar Garib COORDINACIÓN EDITORIAL Lic. Julio César Méndez Cavazos Lic. Neydi G. Alfaro Cázares CONSEJO EDITORIAL Dr. Guadalupe Alan Castillo Rodríguez Dr. Moisés Hinojosa Rivera Dr. Boris l. Kharisov M.C. César A. Leal Chapa Dr. Juan Jorge Martínez Vega Dr. Ubaldo Ortiz Méndez Dr. Miguel Ángel Palomo González Dr. Ernesto Vázquez Martínez COMITÉ TÉCNICO Dr. Efraín Alcorta García Dr. Mauricio Cabrera Ríos Dr. Rafael Colás Ortíz Dr. Óscar Leonel Chacón Mondragón Dr. Jesús de León Morales Dr. Virgilio A. González González Dr. Carlos Alberto Guerrero Salazar M.I.A. Roberto Rebolloso Gallardo Dr. Roger Z. Ríos Mercado TRADUCTOR DE INGLÉS Lic. José de Jesús Luna Gutiérrez INDIZACIÓN Sergio A. Obregón Alfaro TIPOGRAFÍA Gregoria Torres Garay DISEÑO M.A. José Luis Martínez Mendoza FACULTAD DE INGENIERíA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Director / M.E.C. Rogelio G. Garza Rivera Sub-Director Académico / Dr. Moisés Hinojosa Rivera Sub-Director Administrativo / M.C. Alejandro Aguilar Meraz Sub-Director de Desarrollo Estudiantil / M.C. Hugo E. Rivas Lozano Sub-Director de Estudios de Posgrado / Dr. Guadalupe A. Castillo R. Sub-Director de Vinculación / M.C. Esteban Báez Villarreal 2 FOTOGRAFíA M.C. Jesús E. Escamilla Isla WEBMASTER Ing. Dagoberto Salas Zendejo IMPRESOR M.C. Mario A. Martínez Romo Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Editorial: ¿Y si la Tierra se calentara? Ubaldo Ortiz Méndez FIME-UANL ubaldo.ortiz@uanl.mx París, 2 de febrero de 2007. Las Naciones Unidas a través del Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climático (IPCC) anuncia que los cambios en la atmósfera, los océanos, glaciares y en las capas de hielo de los polos muestran de manera inequívoca que la Tierra se está calentando. Así mismo se confirma que el marcado incremento desde 1750, en las concentraciones de gases causantes del efecto invernadero (dióxido de carbono, metano, óxido nitroso, HFCs, PFCs y hexafloruro de azufre), es el resultado de la actividad humana. Las emisiones globales de gases de efecto invernadero han crecido desde la etapa preindustrial, con un incremento del 70% entre 1970 y 2004. El calentamiento de la Tierra se manifestaría, para el ciudadano común, a través de temperaturas extremas (con ondas de calor), nuevos patrones del viento, sequías en ciertas regiones e inundaciones en otras, deshielo en el Ártico y aumento global del nivel promedio del mar. En los últimos cien años la superficie de la Tierra ha incrementado su temperatura en 0.74 grados C, y once de los últimos doce años se encuentran entre los años más calientes registrados desde 1850. El calentamiento global se ha asociado principalmente al CO2 cuya concentración en 1750 era de 280 partes por millón (ppm) y en la actualidad es cercana a las 380 ppm, y aumentando a razón de 2 ppm por año. A este ritmo en 130 años la concentración llegará a ser de 650 ppm, lo que provocaría un calentamiento global de 3.6 grados centígrados. Dado que una consecuencia directa del calentamiento global es el dehielo, a finales de este siglo el nivel del mar podría aumentar entre 28 y 58 cm con respecto al nivel que existía a finales del siglo XX, por lo que las construcciones cercanas a las costas se verían afectadas. Los cambios en los patrones de lluvias y el deshielo de las nieves de las montañas, aumentarán las temperaturas, reducirán las fuentes de suministro e incrementarán la demanda de agua. Por ejemplo, las aguas subterráneas del acuífero Edwards en Texas podrían disminuir hasta un 40% en volumen, un incremento de 2.5 grados centígrados en la temperatura reduce en una quinta parte la recarga natural del acuífero. Hasta 40% del agua necesaria para el sur de California puede estar en Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 3 �Editorial: ¿Y si la Tierra se calentara? / Ubaldo Ortiz Méndez peligro para el 2020 debido a la pérdida de nieve en la Sierra Nevada y de su afluente que es el Río Colorado. Lo anterior aumentará las tensiones entre usuarios de Norteamérica: industrias, ciudades, plantas generadoras de energía a partir de agua, agricultores y pescadores. Por otra parte un aumento de 3 grados centígrados en la temperatura desencadenará una disminución del crecimiento de los bosques de la parte norte del hemisferio boreal y la devastación de los bosques de la parte sur de ese mismo hemisferio. Sin acciones adicionales de los gobiernos, las emisiones de los seis gases incluidos en el Protocolo de Kyoto crecerán entre un 25 y un 90% para el 2030, comparadas con las emitidas en el año 2000. Ya que ningún sector o tecnología puede detener completamente el cambio climático, la mejor manera de resolver este desafío es el de adoptar un portafolio diversificado de acciones y ofrecerlas a los sectores más importantes. A continuación se listan algunas de las políticas y tecnologías, en uso o emergentes, que pueden mitigar el cambio climático manteniendo un crecimiento de la población y de sus ingresos económicos y que, usted lector de INGENIERÍAS, puede tomar como objetivo al llevar a cabo desarrollos tecnológicos: • En el suministro de energía.- Capturar y almacenar, o transformar, el CO2 generado por las empresas productoras de electricidad, a partir de gas, biomasa y combustión de carbón; aumentar la confiabilidad, rendimiento y seguridad de las plantas nucleares; fomentar el uso de energías renovables (eólica, solar, marina); promover el uso de gas natural en lugar de otros combustibles fósiles más pesados. • En el transporte.- Desarrollar nuevos biocombustibles, aviones más eficientes, vehículos eléctricos e híbridos más avanzados con baterías más potentes y confiables. Eficientar los sistemas de transporte público, y promover el uso de transportes no motorizados. • En la construcción.- Diseñar los edificios considerando tecnologías que permitan aprovechar al máximo la energía e incorporar otras fuentes como la energía solar. Una gran contribución del gobierno sería establecer políticas que actualicen continuamente los estándares y códigos para el consumo de energía y vigilar su cumplimiento. • En la industria.- Incorporar tecnologías que utilicen eficientemente la energía; capturar y almacenar, o transformar, el CO2 generado en la industria del cemento, amoniaco, acero, entre otras; utilizar electrodos inertes en la manufactura del aluminio. La transferencia de tecnología es esencial para acelerar la transición a tecnologías limpias en los países en desarrollo. • En la agricultura e industria forestal.- Mejorar los cultivos considerando los aspectos energéticos, de biomasa y de transformación de CO2. Debe implementarse una administración de los bosques que asegure 4 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Editorial: ¿Y si la Tierra se calentara? / Ubaldo Ortiz Méndez la biodiversidad y la producción de madera, fibras o energía bajo un enfoque sustentable. • En el tratamiento de deshechos.- Desarrollar biorecubrimientos y biofiltros para la optimización de la oxidación del metano, de tal manera que se reduzcan, a bajo costo, entre un 30-50 % las emisiones generadas por los deshechos. Para estabilizar los gases de efecto invernadero a 445-490 ppm para el 2050 se requiere que las emisiones globales de CO2 caigan a 50-85 % de los niveles que se tuvieron en el año 2000. Esto limitaría la temperatura media global a un incremento de 2-2.4 grados C por encima de los niveles preindustriales. Finalmente, de manera enfática, les digo que la forma más efectiva para controlar el cambio climático es reducir la emisión de los gases que producen el efecto invernadero, y la forma más simple de hacerlo es que todos nosotros hagamos un uso más eficiente y racional de cualquier tipo de energía. ¡Consumamos menos energía! Glaciar Arapaho en 1898 y 2003. Fuente: visibleearth.nasa.gov REFERENCIAS • Reportes del Intergovernmental Panel on Climate Change (creado por la Organización de las Naciones Unidas en 1988): - The Working Group I Summary for policymakers for IPCC. - The Working Group II Report on climate impacts and adaptation. - The Working Group III Report on mitigation. • United Nations Environmental Programme. http://www.unep.org • Carbon Dioxide Information Analysis Center, Oak Ridge National Laboratory. http://cdiac.ornl.gov • R.S. Brackett, T.Pfeffer. Institute of Artic and Alphin Research. http://visibleearth.nasa.gov Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 5 �Estimación fasorial con fasoretas José Antonio de la O. Serna FIME-UANL jdelao@mail.uanl.mx RESUMEN Se establece la formulación matemática para estimar fasores a partir de fasoretas, obtenidas de segmentos de señal de fracciones de ciclo, y se evalúan las respuestas en frecuencia de los filtros que las generan. De la teoría y las simulaciones numéricas se concluye que, cuando el segmento de señal involucrado en la generación de la fasoreta, corresponde a una senoidal pura, esta técnica ofrece una estimación fasorial más exacta y rápida, mejorando la velocidad del filtro de Fourier de un ciclo. Sin embargo, ante señales transitorias o senoidales impuras, la exactitud y comportamiento dinámico de este método de estimación fasorial, que incluye al filtro de Fourier de un ciclo, dependerá en gran medida de la técnica de extracción de ruido, dada la gran sensibilidad de los filtros generadores de fasoretas a señales no senoidales. PALABRAS CLAVE Estimación fasorial, fasoreta, filtro digital, respuesta en frecuencia, proyección de señales, bases no ortogonales, plano oblicuo. ABSTRACT The mathematical formulation for estimating phasors from phasorlets, obtained from signal segments of a fraction of a cycle, is established and the frequency responses of the phasorlet generator filters are evaluated. From the theory and the numerical simulations it is concluded that, when the signal segment involved in the phasorlet generation corresponds to a pure sinusoidal signal, this estimation technique offers the quickest measurement of its phasor, improving the speed of the well known one-cycle Fourier filter estimate. The new estimates were found very useful for detecting and locating abrupt changes in amplitude or phase between two sinusoidal states. However, before transients or impure sinusoids, the exactness and the dynamic behavior of this estimation method (which includes the one-cycle Fourier filter) will depend in great extent on the applied noise extraction technique, given the huge sensitivity to nonsinusoidal signals of the phasorlet generator filters. KEYWORDS Phasor estimation, phasorlet, digital filter, frequency response, signal projection, non-orthogonal basis, oblique planes. 6 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna INTRODUCCIÓN La medición fasorial es muy importante para monitorear y diagnosticar sistemas eléctricos de potencia.1 Los fasores portan la amplitud y la fase de una señal senoidal en estado estable (frecuencia, amplitud y fase constantes). Para calcularlos, los algoritmos actuales procesan segmentos de señal (de voltaje o corriente) de duración igual a un múltiplo de ciclo fundamental. Esto se debe a que las señales coseno y seno de frecuencia fundamental son ortogonales entre sí para esas duraciones. Bajo esa ortogonalidad, ellas forman las referencias para obtener directamente las componentes real e imaginaria del fasor, con la ventaja adicional de que las armónicas, por ser ortogonales al plano fasorial, son eliminadas automáticamente en el proceso de estimación. Para señales de duración inferior al ciclo, las referencias coseno y seno (de frecuencia fundamental) forman una base oblicua y generan un plano no ortogonal al plano fasorial. En este caso, es necesario referir al plano fasorial la proyección de la señal en el plano oblicuo. Desgraciadamente, en esta composición de transformaciones se infiltran en las estimaciones fasoriales armónicas y otras componentes no ortogonales a los planos oblicuos. Recientemente se propuso en2 un algoritmo para estimar fasores a partir de estimaciones parciales obtenidas sobre segmentos de señal sucesivos de duración inferior al ciclo, ahí llamadas fasículas (phaselets). Y con secuencias de éstas se va formando un estimado fasorial de duración variable, hasta llegar a un ciclo. En vez de la palabra fasícula, la cual evoca solamente fase, en este trabajo utilizaremos el término fasoreta, con la intención de significar también magnitud. Las fasoretas son los “diminutos vectores” en los que un fasor puede ser descompuesto y desde los cuales éste se puede estimar. En este artículo se establece matemáticamente el proceso de estimación fasorial a partir de señales con duración de fracciones de ciclo, se analiza la respuesta en frecuencia de los filtros generadores de fasoretas, y se evalúan tanto los errores por infiltración como el comportamiento dinámico de los estimados ante señales transitorias. Lo anterior con el objeto de poder plantear nuevas y mejores estrategias para obtener estimaciones fasoriales más rápidas y Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 precisas, y con mejor comportamiento transitorio. La principal contribución de este trabajo es el haber demostrado que para señales senoidales puras, las estimaciones fasoriales con fasoretas ofrecen el mismo valor exacto que el filtro de Fourier de un ciclo, pero en un intervalo de tiempo mucho más corto. Se encontró también que los fasores estimados a partir de fasoretas son muy buenos localizadores de cambios abruptos en amplitud o fase entre dos estados senoidales sucesivos. Además, la plataforma matemática aquí planteada es muy útil para aquellos que desean entender mejor lo que los modernos equipos comerciales de protecciones de sistemas eléctricos de potencia están aplicando con éxito para conformar estimaciones fasoriales. ESTIMACIÓN DEL FILTRO DE FOURIER DE UN CICLO Las partes real e imaginarias de la secuencia ϕ ( n) = 2 0 e , N n = 0,1,… , N − 1 iω n (1) que resulta al tomar N muestras por ciclo ( ω 0 = 2Nπ ), de una exponencial compleja continua, forman una base ortogonal que genera un plano en el espacio N dimensional. En cualquier instante k , la señal discreta definida por la secuencia {s (n), n = 0,1, 2,… , N − 1}k se proyecta ortogonalmente en el punto σ (k ) de dicho plano, mediante la siguiente suma de convolución: N −1 σ (k ) = ∑ϕ (n) s (k − n). (2) n= 0 En el caso particular de la señal exponencial compleja s (n) = Ae i ( ω n+θ ) 0 ≤ ω < 2π , , (3) la secuencia de proyecciones es dada por la siguiente ecuación: σ (k ) = Ae N −1 i ( ω k +θ ) ∑ϕ (n)e − iω n = Φ (ω ) Ae i ( ω k +θ ) (4) n= 0 donde Φ ( w) es la función de transferencia de ϕ (n) . Así, el proceso de proyección (o su interpretación geométrica) se puede considerar también como un proceso de filtrado, en el cual el filtro es un sistema lineal con respuesta a un impulso ϕ (n) . 7 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna Obsérvese que para obtener el fasor de una señal cosenoidal s (n) = A cos(ω 0 n + θ ) , de frecuencia fundamental ω 0 , se requieren Φ ( −ω 0 ) = 0 y Φ (ω 0 ) = 2 , y compensar negativamente la rotación en (4). En este caso, la secuencia fasorial de s (k − n) será dada por ρ(k ) = e − iω 0k σ (k ) = Ae iθ (5) correspondiente a una secuencia de valores complejos exactamente iguales al fasor de la señal cosenoidal. Estos son los tradicionales estimados fasoriales proporcionados por el filtro de Fourier de un ciclo. En Teoría de Espacio de Señales, 3 es bien sabido que el operador en (2) proyecta la señal s (n) sobre el plano fasorial, generado por la base ortogonal {{cos(ω 0 n),sin(ω 0 n), n = 0,1,… , N − 1}}. La proyección es dada por las coordenadas del punto en el plano formado por esa base. Si s (n) no es una senoidal pura, digamos s (n) = A cos(ω 0 n + θ ) + r (n) , donde r (n) es una señal residual arbitraria, entonces la proyección descompone r (n) en dos componentes, una paralela al plano fasorial, y la otra ortogonal a él. De manera que r (n) puede escribirse como r (n) = r (n) + r⊥ (n) . La componente paralela r (n) puede escribirse pues en términos de la base {cos(ω 0 n),sin(ω 0 n)}nN=−01 y constituye un ruido para el estimado fasorial de la componente senoidal s (n) . Por otra parte, la proyección de la componente perpendicular al plano, r⊥ (n) es nula, y no afecta al estimado fasorial. La ventaja del filtro de Fourier de un ciclo es que todas las armónicas son ortogonales a los vectores de la base que genera el plano fasorial, por lo que ofrece la mejor estimación bajo condiciones de periodicidad, para las cuales la carga espectral del filtro se encuentra solamente en múltiplos de la frecuencia fundamental ω 0 . Sin embargo, cuando componentes transitorias están presentes en la señal, o cuando no es constante la amplitud, fase, o frecuencia de la señal senoidal, este filtro tiene importantes defectos.4 Es por esto que el filtro de Fourier de un ciclo es raramente utilizado solo en aplicaciones donde la señal contiene transitorios importantes. A menudo cuenta con un extractor de señal aperiódica detrás de él, o un algoritmo de mínimos cuadrados adelante, con el objeto de mejorar la precisión de su estimación fasorial. 8 ESTIMACIÓN FASORIAL CON FASORETAS Al calcular la proyección en (2), es posible separar la suma de convolución en Pj = 2 j , j = 0,1, 2,… , log 2 ( N ) sumas parciales, cada una con W j = N / Pj términos, como se muestra a continuación: pW j −1 Pj σ (k ) = ∑ ∑ Pj ϕ (n) s (k − n) = ∑σ (k ). (6) j p p =1 n= ( p −1) W j p =1 Para cada partición j , los términos σ (k ), p = 1, 2,3,… , 2 , serán llamados fasoretas de la señal s (n) . Con más precisión, diremos la fasoreta p de orden j . La ecuación (6) se puede interpretar j j p como la descomposición de la proyección (o del fasor) en fasoretas de orden j . Recuerde que el fasor difiere de la proyección sólo por una rotación inversa. Observe que cada partición j , divide un ciclo en intervalos diádicos (fracciones de potencias enteras de dos), de manera que las fasoretas se obtienen a las salidas de filtros digitales de duración fraccionaria de ciclo, al ser excitados por la señal s (n) . La menor resolución ( j = 0 ), corresponde al filtro de Fourier de un ciclo. La siguiente consta de dos filtros de Fourier de medio ciclo, luego cuatro de un cuarto, y así sucesivamente hasta la más fina resolución, con N filtros de un solo coeficiente. Con el fin de mantener el mismo espacio N -dimensional, es posible obtener las fasoretas por convolución sobre un ciclo completo, definiendo 2 j secuencias ϕ pj (n) , en las cuales se rellenan con ceros los coeficientes ϕ (n) que no intervienen en el cálculo de la correspondiente fasoreta ⎧ϕ (n) ( p − 1)W ≤ n ≤ pW − 1⎫ ϕ ( n) = ⎨ ⎬ (7) los restantes ⎩0 ⎭ Así, para cualquier partición, la fasoreta p j j j p se obtiene mediante la siguiente ecuación de convolución: N −1 σ (k ) = ∑ϕ (n) s (k − n), j j p p p = 1, 2,3,… , 2 (8) j n= 0 Esta es la ecuación para generar fasoretas con filtros de duración fraccionaria y respuesta impulsional ϕ pj (n) . Note que entre más alto es el orden j , más angosta es la ranura, y más diminuta es la fasoreta. De hecho, cada fasoreta de orden de resolución inmediato inferior se obtiene sumando las dos fasoretas posteriores, esto es: Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna σ (k ) = σ j −1 j p 2 p −1 (k ) + σ (k ), j 2p p = 1, 2,3,… , P . j −1 (9) La figura 1 ilustra con cruces en el plano fasorial las fasoretas más pequeñas (de sexto orden), d e l a s e ñ a l cos(ω 0 n + π / 4), n = 0,1..., N − 1 con N = 64 . Los puntos corresponden a las fasoretas de 64 señales senoidales con fases igualmente distribuidas en la circunferencia unitaria, θ k = ω 0 k , k = 0,1, 2,… , N − 1 . En esa figura, las fasoretas para cualquiera de las fases se obtienen girando la línea radial ( θ + = π / 4 ) con el haz de cruces, a la fase correspondiente. Dado que la figura 1 muestra el nivel de resolución más fino, el conjunto de fasoretas del nivel anterior se obtiene agregando pares de fasoretas adyacentes como se indica en (9). Esto reduce a la mitad el número de fasoretas. El proceso de agregación de pares adyacentes puede ser aplicado hasta que se obtiene una única fasoreta ( j = 0 ), la cual corresponde al fasor del filtro de Fourier de un ciclo. La figura 2 muestra la suma de fasoretas de resolución más fina correspondientes a los 64 puntos equiespaciados en la circunferencia unitaria. Como ejemplo se ilustra con cruces la composición de eiπ / 4 . Observe que la agregación sucesiva de fasoretas para cada señal cosenoidal genera dos curvas cicloides desde el centro al punto en la circunferencia unitaria correspondiente a su fase. Fig. 1. (+) Fasoretas en el plano fasorial de la señal cosenoidal de amplitud unitaria y fase π /4. (.) Fasoretas de 64 señales cosenoidales con fases uniformemente separadas. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Dada la ecuación (9) y la naturaleza aditiva de la figura 2, la composición en fasoretas de nivel de resolución antecedente se obtendrá simplemente diezmando por dos puntos de la curva correspondiente. Así, desde las fasoretas de más fina resolución, cualquier conjunto de fasoretas se puede obtener por diezmados de dos en dos, equivalentes a diezmados por factores de 2, 4, 8, 16, 32 y 64, el cual corresponde al menor nivel de resolución, y es igual al fasor mismo. Puede demostrarse que cuando la señal de entrada corresponde a una señal senoidal de la forma s (n) = A cos(ω 0 n + θ ) las fasoretas son periódicas de período Pj / 2 (el coseno cuadrado tiene el doble de la frecuencia del coseno). Así, para señales cosenoidales, cuyos puntos se encuentran en el plano fasorial, tenemos σ (k ) = σ j j p p + Pj / 2 (k ), p = 1, 2,3,… , P / 2. (10) j Esto explica, porqué en la figura 1 sólo se observan 32 cruces, en vez de 64. La magnífica estructura de las fasoretas en la figura 1 sugiere que existen relaciones matemáticas en el proceso de generación. De hecho, si se expresa (2) para s (n) , y j = 6 , se obtienen las siguientes expresiones: σ (k ) = 6 p A (e N i ( ω 0k +θ ) +e − i ( ω 0k +θ ) e − i 2 ω 0 ( p −1) ) (11) Fig. 2. Descomposición en fasoretas de $6°$ orden de 64 puntos igualmente separados en la circunferencia unitaria. Los puntos extremos de las componentes de σ = ej π /4 se muestran con cruces. 9 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna para p = 1, 2,3,… , N . Y aplicando la rotación inversa se tiene e − iω 0k σ (k ) = 6 p A (e + e N iθ − i ( 2 ω 0k +θ ) e − i 2 ω 0 ( p −1) ). (12) Para k = 0 , el primer término del lado derecho de (12) representa el centro del círculo en la figura1, y el segundo al “eslabón” que gira al doble de la frecuencia fundamental. Esta ecuación explica cómo trabaja el estimado fasorial del filtro de Fourier de un ciclo: al agregar las fasoretas sobre un ciclo completo, la suma de los primeros términos crece linealmente en la dirección (y hasta) el fasor, y la suma de los segundos términos, produce las curvas cicloides en la figura 2, las cuales se cancelan dos veces: una a la mitad del ciclo, la otra a su término. También se sabe que la adición sobre un ciclo cancela las fasoretas de todas las armónicas. Pero la estructura simétrica mostrada en la figura 1, sugiere que para señales senoidales puras, una mejor y rápida cancelación del segundo término sería la adición de fasoretas apartadas de un cuarto de ciclo. Así, un estimado mucho más rápido sería dado por: N N ρ = Aeiθ = e − iω0k (σ 6p + σ 6p+ N ), p = 1, 2,3,… , 4 2 4 (13) produciendo el mismo valor exacto del filtro de Fourier de un ciclo, pero en un cuarto de ciclo. Ecuaciones cerradas similares resultan de (2) cuando se aplican a otros grados de resolución. En la próxima sección, se analiza la respuesta en frecuencia de los filtros ranura. ancho de banda de los filtros aumenta cuando aumenta el orden de resolución. También se puede constatar que las respuestas en frecuencia de los filtros son simétricas con respecto a ω = ω 0 , y no con respecto a ω = 0 . Lo anterior implica que la respuesta en intervalos de frecuencias negativas no es la imagen del intervalo correspondiente positivo (como en el caso de filtros con respuesta impulsional real), de tal manera que los filtros ponderan distintamente las componentes de frecuencia positiva y negativa de cada armónica. Por ejemplo, el filtro Φ12 (ω ) permite el paso de la frecuencia fundamental positiva y negativa con ganancias disímiles, dejando pasar una fracción de la componente de frecuencia positiva de la 3a armónica, pero suprime completamente la componente negativa. Observe en (15) que los filtros de mismo orden de resolución j tienen la misma respuesta en magnitud, la cual depende solamente de la cantidad de coeficientes W j del filtro, pero no del índice p . El retraso debido a la diferencia de fase entre filtros adyacentes del mismo orden de resolución corresponde a su posición relativa en el intervalo de tiempo, y para cada partición es igual a W j . Por tanto, ante una misma señal de entrada, las salidas de los filtros de igual longitud serán idénticas, excepto por su retraso. Y por tanto, únicamente el primer filtro de la partición será de interés, los otros son redundantes. Es por esta razón que, en las simulaciones numéricas, sólo se considerarán los resultados del primer filtro ( p = 1 ) de cada partición. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE FILTROS RANURA De acuerdo con (7), las fasoretas son generadas por filtros cuya respuesta en frecuencia5 es dada por su función de transferencia N −1 Φ (ω ) = ∑ϕ (n)e j j p − iω n p p = 1, 2,… , 2 . (14) , j n= 0 Aplicando series geométricas se obtiene la siguiente expresión en forma cerrada para la respuesta en frecuencia de los filtros ranura: ⎧ ⎪ Φ (ω ) = ⎨ ⎪⎩ 2W j N j p 2 N para ω = ω sin[( ω −ω 0 )( Wj )] 2 sin[( ω −ω 0 )( 1 )] 2 e 0 − i ( ω −ω 0 )[( 2 p −1) Wj 1 − ] 2 2 ⎫ ⎪ ⎬ (15) ω ≠ω ⎪ ⎭ 0 La figura 3 muestra las respuestas en magnitud de Φ p (ω ) para j = 0,1, 2 . Se puede observar que el j 10 Fig. 3. Respuestas en Magnitud Φ p ( w), j = 0, 1 y 2. j Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna CÁLCULO FASORIAL COMO TRANSFORMACIÓN LINEAL Es interesante expresar la formulación anterior en ecuaciones matriciales. En el instante de tiempo k , la fasoreta p de resolución j queda definida por σ (k ) = Φ s , j j p p j = 0,1, 2,… , log ( N ) (16) 2 k donde s k es un vector N × 1 conteniendo las N muestras de señal que preceden al instante k s = (s (k ), s (k − 1), … , s (k − N + 1) k ) T (17) y Φ pj es una matriz rectangular 2 × N con las partes real e imaginaria de los coeficientes del filtro correspondiente a la fasoreta p de resolución j . Así, las fasoretas son las proyecciones del vector s k en los planos generados por los renglones de Φ pj . El vector de señal de la secuencia s (n) = s (n) + r (n) , donde s (n) = A cos(ω 0 n + θ ) puede expresarse como s = FR ρ + r (18) k k k j ⎛ cos θ ⎞ ρ = A⎜ ⎝ sin θ ⎟⎠ (19) R es la k ésima potencia de la matriz de k rotación 0 0 − sin ω ⎞ cos ω ⎟⎠ 0 (20) 0 y F es la matriz N × 2 formada por las partes real e imaginaria de los coeficientes del filtro de Fourier de ciclo completo cos 0 sin 0 ⎛ ⎞ ⎜ cos ω ⎟ sin ω ⎟. F=⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎝ cos ω ( N − 1) sin ω ( N − 1)⎟⎠ 0 0 0 (21) 0 Sustituyendo (vectmat) en (LinTrans) y resolviendo para ρ se obtiene ρ = R (Φ F) (σ (k ) − Φ r ) −k j p e (k ) = R (Φ F) (Φ r ), p donde ρ es el fasor de la señal senoidal ⎛ cos ω R=⎜ ⎝ sin ω esta ecuación, la cual corresponde a la proyección indirecta y rotada de la señal Coseno s (n) . Pero esta ecuación implica que r(n) es conocida a priori. Cuando r(n)=0, el segmento de señal considerado en el cálculo de la fasoreta σ pj corresponde a la fasoreta de señal senoidal pura σ pj , y las estimaciones fasoriales dadas por (22) son exactas para cualquier orden de resolución j (incluyendo j=0). De acuerdo con esto, para señales senoidales de la forma s (n) , no se requiere esperar un ciclo completo para obtener un fasor exacto. Es posible utilizar una base no ortogonal intermedia, construida en un intervalo de tiempo mucho más corto, para obtener una medición exacta. El problema del error aparece cuando la señal r(n) no es nula. Esto incluye los casos de señales transitorias, señales armónicas (señales periódicas), o señales con ruido aditivo, tal como la exponencial atenuada que aparece comúnmente en corrientes de falla. En estos casos el error de la estimación fasorial será dado por −1 j j p p k (22) para j = 0,1,… , log 2 ( N ) . De nuevo, el valor exacto del fasor puede ser obtenido (a condición de que la matriz cuadrada Φ pj F sea invertible) a partir de Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 −k j p −1 j p k j = 0,1, 2,… , log ( N ) (23) 2 y corresponde a la proyección indirecta rotada de la señal r(n) en el plano fasorial. Note que, para ( j ≠ 0 ), en esta proyección compuesta de r(n), no sólo la componente paralela al plano fasorial ( r (n) ) contribuye con un error, sino también la componente ortogonal ( r⊥ (n) ),6 debido a que los renglones de las matrices Φ pj no están en el plano fasorial, generado por los de la matriz Φ10 = F T . Esto explica los valores no nulos en las frecuencias armónicas de las respuestas en magnitud de Φ pj (ω ) , para j ≠ 0 , en la figura 3. Y es el precio a pagar por la proyección indirecta necesaria para obtener los estimados fasoriales a partir de fasoretas. En la aplicación reportada en,2 las matrices inversas (22) fueron almacenadas en memoria para diferentes valores de j y p, y aplicadas según el caso. Pero estas matrices pueden también resolverse en forma cerrada para p=1 como funciones de W j y ω 0 . El propósito de las técnicas de prefiltrado que normalmente acompañan al filtro de un ciclo en aplicaciones prácticas es suprimir la componente r(n). Este es el caso del extractor aperiódico usado antes del filtro de Fourier de un ciclo.7 Pero el error fasorial 11 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna puede también reducirse en aplicaciones prácticas, como se reporta en la referencia2, aplicando técnicas a posteriori, tales como el algoritmo de mínimos cuadrados, cuando ρ es estimado de una nube de puntos obtenida de (22), asumiendo que σ pj = σ pj . En la próxima sección, presentamos las estimaciones fasoriales con fasoretas obtenidas en señales de fallas reales asumiendo la suposición anterior. RESULTADOS NUMÉRICOS Con el fin de evaluar la dinámica de las estimaciones fasoriales con fasoretas, consideramos a continuación los estimados de fasoretas de diversos órdenes, y los comparamos con los del filtro de Fourier de un ciclo (fasoreta de orden cero). Compararemos las estimaciones de amplitud y fase de una señal de corriente y una de voltaje, registradas durante una falla. Dichas señales, muestreadas a N=64 muestras por ciclo, se encuentran disponibles en,8 en un archivo llamado “reclosed”. La figura 4 muestra las estimaciones de amplitud de la señal de corriente, la cual se ilustra con la línea con puntos y rayas. Como se puede apreciar, dicha señal contiene una importante exponencial atenuada, seguida por un segmento de estado estable, una súbita interrupción, y un corto intervalo de restablecimiento. Se puede observar, del lado izquierdo, que los estimados de amplitud con la fasoreta σ 14 (línea continua) contienen una fuerte infiltración de la exponencial atenuada, la cual se manifiesta por la importante oscilación a la frecuencia fundamental. Mientras que en el segmento de estado estable, las estimaciones de amplitud contienen ruido de alta frecuencia. Este ruido se detectó en las estimaciones de fasoretas de orden superior (superior a tres), y es debido al amplio ancho de banda de los filtros ranura más angostos, los cuales son muy susceptibles al aliasing. Esto también se explica por el hecho de que los filtros ranura más angostos tienen menos coeficientes, de manera que la matriz σ 14 en (22) es casi singular. De hecho, para las fasoretas de 6° orden la matriz es singular. La figura 5 muestra las estimaciones de amplitud cuando se aplica un extractor de aperiódica a la señal de corriente.9 Se muestran los estimados con fasoretas de orden cero (línea segmentada) y tres (línea continua). Como se puede apreciar, la 12 Fig. 4. Estimaciones de amplitud con fasoretas σ 0 1 (línea segmentada) y σ 1 (línea continua) de la corriente de falla (línea con puntos y rayas). 4 Fig. 5. Estimaciones de amplitud de la señal de corriente sin componente exponencial (línea con puntos y rayas) con fasoretas continua). σ 0 1 (línea segmentada) y σ 3 1 (línea gran oscilación de la figura 4 fue cancelada, y las estimaciones con la fasoreta de tercer orden tienen un retraso menor que las obtenidas con la de orden cero. Note también que el ruido de alta frecuencia no aparece en los estimados obtenidos a partir de σ 14 . Este ejemplo ilustra el caso de una técnica de pre-filtrado para extraer una componente indeseable. Observe, sin embargo, que un retraso inevitable es introducido por el extractor aperiódico. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna Al comparar las estimaciones de amplitud obtenidas con fasoretas de diferentes órdenes, se observa que poseen una dinámica muy semejante (excepto por el ruido de alta frecuencia) a las de la figura 4 y 5. Y cuando el orden de resolución disminuye, convergen a la estimación de la fasoreta de orden cero. Cómo éste corresponde al del filtro de Fourier de un ciclo, se concluye que el método de fasoretas aquí planteado nunca mejorará las deficiencias transitorias de dicho filtro. Ahora consideremos las estimaciones de amplitud de la señal de voltaje. La figura 6 muestra las estimaciones de amplitud obtenidas con la fasoreta de orden cero (línea segmentada) y cuarto (línea continua). Esta señal de falla está formada por cuatro pedazos claramente separados por los picos de los estimados con la fasoreta de cuarto orden. Como se puede apreciar, las estimaciones contienen nuevamente ruido de alta frecuencia. Este ruido desaparece cuando los estimados se obtienen con fasoretas de orden inferior o igual a 3 como se muestra en la figura 7, en la cual se ilustran las estimaciones con la fasoreta de segundo orden. Note que estas estimaciones son muy buenas (rápidas y precisas) debido a que los intervalos cortos siempre contienen un segmento de señal senoidal, a excepción de los intervalos bajo los picos, los cuales contienen un cambio abrupto. Por lo que se concluye que las estimaciones fasoriales de estas fasoretas son excelentes para detectar y localizar con precisión los cambios abruptos en amplitud. Fig. 6. Estimaciones de amplitud de una señal de voltaje 0 (línea con puntos y rayas) con fasoretas σ 1 (línea 4 segmentada) y σ 1 (línea continua). Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Las mismas observaciones hechas para las estimaciones de amplitud son válidas para las de fase: alta sensibilidad a componentes no senoidales, como presencia de ruido de alta frecuencia en estimados de fasoretas de alto orden. Las figuras 8 y 9 muestran las estimaciones de fase correspondientes a las señales de las figuras 4 y 7 respectivamente. Se observa nuevamente una oscilación (de fase) debida nuevamente a la presencia de la componente exponencial en la corriente, la cual hace balancear al estimado fasorial. Nuevamente observe que las estimaciones constituyen buenos detectores y localizadores de cambios rápidos en fase, mejorando por tanto la velocidad y capacidad de localización temporal de los estimados del filtro de Fourier de un ciclo, los cuales llegan mucho más tarde y con menos resolución temporal. Considerando la formulación matemática y las simulaciones digitales anteriores, se desprende que es necesario que la estimación fasorial con fasoretas vaya acompañada de otra etapa de filtrado. Ésta puede darse a priori (prefiltrado), para depurar la componente de frecuencia fundamental antes de entrar al algoritmo de estimación; o bien a posteriori (postfiltrado) para reducir el error, cuando el segmento de señal de entrada no corresponde a uno de señal senoidal pura. Fig. 7. Estimaciones de amplitud de la señal de voltaje (línea con puntos y rayas) de fasoretas segmentada) y σ 2 1 σ 0 1 (línea (línea continua). 13 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna σ , que constituye el mejor extractor de ruido. Sin 0 1 embargo, aun cuando esta última estimación ofrezca el fasor exacto bajo condiciones de estado estable, es todavía susceptible a infiltración de transitorios.4,10 Y de nuevo, se requiere una etapa adicional de pre- o post-filtrado para reducir este tipo de error. Sin embargo, cuando la señal de entrada es una senoidal pura, las estimaciones fasoriales más rápidas (y exactas) se logran con fasoretas en intervalos de fracciones de ciclo, y son además excelentes para localizar cambios abruptos de amplitud o de fase, mejorando la velocidad y capacidad de localización temporal de los estimados del filtro de Fourier de un ciclo. Fig. 8. Estimaciones de fase de la señal de corriente con fasoretas continua). σ 0 1 (línea segmentada) y σ 4 1 (línea Fig. 9. Estimados de fase de la señal de voltaje con las fasoretas continua). σ 0 1 (línea segmentada) y σ 2 1 (línea Dado que los filtros generadores de fasoretas de un mismo orden poseen la misma respuesta en magnitud (sólo difieren en fase), el proceso de conformación del fasor deberá tener en cuenta la secuencia de fasoretas de orden decreciente σ 14 , σ 13 , σ 12 , σ 11 para aproximarse a la estimación de un ciclo 14 DISCUSIÓN Entre las principales aportaciones del trabajo están: la definición misma de fasoreta; la demostración de que todas las estimaciones fasoriales a partir de fasoretas de distinta duración proveen el valor exacto del fasor (su medición) cuando la señal de entrada corresponde a una senoidal pura; y finalmente, el advertir de la alta sensibilidad de las fasoretas a los ruidos no senoidales. Este trabajo establece la base matemática para obtener estimaciones fasoriales a partir de fasoretas en fracciones de ciclo. Estas ofrecen una respuesta más rápida y mejoran la velocidad de la representación fasorial de señales de onda de los sistemas eléctricos. Muestra también, a través de simulaciones, el comportamiento del proceso de estimación, así como sus ventajas y deficiencias. Aun cuando se concentre en aplicaciones de relevadores de protección, el artículo demuestra la dificultad general de las técnicas de medición que pretenden ser rápidas y precisas. De esta manera, el artículo contribuye a acrecentar los conocimientos en ésta área de medición. La principal limitación de esta técnica es que requiere una etapa adicional de filtrado cuando la señal de entrada no es una senoidal pura. De manera que este trabajo debe continuar con el análisis del comportamiento dinámico de los estimados fasoriales cuando técnicas complementarias de filtrado son aplicadas para mitigar los efectos de las componentes no senoidales comúnmente presentes en las aplicaciones conocidas. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Estimación fasorial con fasoretas / José Antonio de la O. Serna CONCLUSIONES Las estimaciones fasoriales a partir de fasoretas trabajan muy bien cuando el segmento de señal de entrada corresponde a una senoidal pura. Esta técnica de estimación ofrece fasores rápidos y precisos cuando no existen otras componentes en la señal, es por esto que es excelente para localizar con precisión cambios abruptos de amplitud o fase. Sin embargo, cuando el segmento de señal bajo la ventana de observación no es una senoidal pura, se deben aplicar técnicas de extracción de error a priori o a posteriori. Y el comportamiento dinámico de las estimaciones fasoriales dependerá fuertemente de la técnica de extracción de ruido. Finalmente, no se recomienda la técnica de estimación de fasores a partir de fasoretas de alto orden de resolución debido a que son susceptibles a ruido de alta frecuencia y errores de redondeo generados en el cálculo de la inversa de la matriz involucrada en la fórmula de estimación. AGRADECIMIENTO Este trabajo de investigación fue financiado por la Universidad Autónoma de Nuevo León a través del Proyecto PAICYT CA561-01: “Medición Fasorial desde Bases Oblicuas”. REFERENCIAS 1. Advancements in Microprocessor Based Protection and Communication, IEEE Tutorial Course, Power System Relaying Committee of the IEEE Power Engineering Society. IEEE Catalog Number 97TP120-0, N. J., 1997. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 2. M. G. Adamiak, G. E. Alexander, W. Premerlani, “Advancements in Adaptive Algorithms for Secure High Speed Distant Protection”, GE Power Management, Malvern, PA. 3. J. G. Proakis, Digital Communications, 4th Ed., New York:McGraw Hill Edición Internacional, 2001, pp. 231-238. 4. J. A. de la O, Martin K., “Improving Phasor Measurements under Power System Oscillations”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 18, No. 1, Febrero 2003. pp. 160-166. 5. L. Wang, “Frequency Responses of phasor-based Microprocessor Relaying Algorithms,” IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 14, No. 1, pp 98-105, Enero 1999. 6. L. A. Sadun, Applied Linear Algebra:The Decoupling Principle, New York:Pearson Education,2000, pp. 145-163. 7. G. Benmouyal, “Removal of dc-offset in Current Waveforms Using Digital Mimic Filtering,” IEEE Trans. Power Delivery, Vol 10, No. 2, Abril 1995. 8. URPCTM Program, disponible en la página web de General Electric Industrial Systems: http:// www.geindustrial.com/cwc/products?famid=31 9. J. A. de la O, “Complementary Filters for Fault Detection and Phasor Measurement”, Proceedings of the International Conference on Signal Processing, Orlando, FL, USA, Nov 99, available at http://www.icspat.com. 10. J. A. de la O, “Improving the Transient Shortcomings of the Fourier Filter,” Proceedings of the Instrumentation, Systems and Automation (ISA) Conference and Exhibition, Chicago, IL, USA, Oct 2002. 15 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones Karla V. Martínez Facundo, Jania A. Saucedo Martínez, J. Ángel Segura Ramiro, Miguel A. Urbano Vázquez, Roger Z. Ríos Mercado Programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas, FIME, UANL {karla, jania, angel, akuma, roger}@yalma.fime.uanl.mx RESUMEN En los sistemas de distribución de información en sistemas de telecomunicaciones se utiliza una combinación de “empujar” y “jalar” paquetes de información para obtener los datos precisos en el lugar adecuado. El problema principal de estos sistemas es el tráfico innecesario que se genera. Una forma de minimizar dicho tráfico es resolviendo un problema del “árbol de empuje” asociado. En este trabajo se presenta una descripción a detalle de este problema, desde la perspectiva de la optimización de flujo en redes, y una implementación computacional de un algoritmo heurístico para obtener soluciones aproximadas, basado en el método de Havet y Wennink. PALABRAS CLAVE Investigación de operaciones, flujo, redes, telecomunicaciones, heurística, árbol de Steiner. ABSTRACT In data distribution systems, a “push” and “pull” combination procedure is used to obtain the correct data in the correct place. The main problem in these systems is the unnecessary traffic that is generated. One way to minimize this traffic is to solve an associated Push Tree problem. A detailed description of this problem from the network flow programming perspective, and a heuristic scheme for approximate solutions, based on the method developed by Havet and Wennink, are discussed in this paper. KEYWORDS Operations research, network flow, telecommunications, heuristic, Steiner tree. INTRODUCCIÓN El presente trabajo cae en el marco de la optimización de problemas de flujos en redes el cual es un subcampo de la investigación de operaciones, que es la ciencia que brinda sustento científico a los problemas de toma de decisiones. Dentro de este subcampo, uno de los problemas importantes encontrados en el área de telecomunicaciones es el derroche de recursos del ancho de banda. Esto 16 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. se debe al tráfico innecesario de información que puede presentarse en la red causado por el envío de información no requerida. Este tipo de problema se puede resolver al plantearse como un problema de árbol de empuje óptimo, el cual se describe en detalle más adelante. Recientemente, Havet y Wennink1 presentan una heurística (algoritmo de solución aproximada) para encontrar el árbol de empuje (al cual referiremos como PT por sus siglas en inglés, Push Tree) para una red determinada. El primer objetivo de este trabajo es el de presentar al lector una descripción formal del problema del árbol de empuje. Posteriormente, se describe e implementa la heurística de Havet y Wennink para la solución aproximada del mismo. Otra contribución de nuestro trabajo es el desarrollo de un programa de optimización basado en CPLEX2 (paquete de bibliotecas de optimización para problemas de programación lineal entera). Finalmente se presenta una evaluación empírica de la heurística de Havet y Wennink y una comparación con la solución óptima al problema reportado por CPLEX. El artículo está organizado de la siguiente manera. Primero se describe el problema del árbol de empuje, seguido después por su formulación. Posteriormente se plantea la formulación del problema del árbol de Steiner mínimo y una heurística para obtenerlo, ya que es necesario para encontrar el PT óptimo mediante el método presentado en.1 Por último se muestran resultados de la experimentación computacional a partir de los cuales obtenemos conclusiones. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROBLEMA En los sistemas de telecomunicaciones encargados de la distribución de información se utiliza una combinación de empujar y jalar paquetes de información para obtener los datos adecuados en el momento y lugar correctos. La función de “empujar” se emplea donde se encuentra la información y consiste en enviarla a todos los usuarios (estén interesados o no en ella), mientras que la función de “jalar” les corresponde a los usuarios que están interesados en obtenerla. En general el lugar de origen envía mensajes actualizados a un conjunto de nodos en la red, los cuales van a mantener réplicas Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 actualizadas de la información y ésta se encontrará a la mano de los nodos que así la requieran. Las dos formas de distribución de información producen tráfico en la red. El objetivo es encontrar la mejor forma de distribuir la información minimizando la cantidad total de tráfico respetando las restricciones tecnológicas del problema. Es decir, encontrar el conjunto de nodos (usuarios) y aristas (rutas) a través de los cuales serán trasmitidas las actualizaciones y requisiciones, de tal manera que se minimice el tráfico generado por las funciones de “empujar” y “jalar”, tomando en cuenta los nodos requerimiento (los que necesitan información y la solicitan) y la tasa de actualización (cantidad de veces que la información cambia por unidad de tiempo). Este problema, introducido por Havet y Wennink,1 se denomina el problema del árbol de empuje. La solución óptima al problema del PT está caracterizada por un árbol enraizado en el nodo donde se genera la información. El problema del PT se enfoca a la minimización de costos variables asociados con la cantidad de tráfico generada por los diferentes mecanismos. Si sólo se utilizara el mecanismo de “jalar” tratando de minimizar el costo variable generado por dicho tráfico, correspondería a solucionar el problema de ruta más corta entre todos los pares de nodos; en cambio si sólo utilizamos el mecanismo de “empujar” corresponde a encontrar la solución a un problema del mínimo árbol de Steiner (ver Apéndice). Una característica importante del problema del PT es la transición entre estos dos tipos de problemas cuando ocurren cambios en la tasa de actualización. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DEL ÁRBOL DE EMPUJE Para formular adecuadamente el problema del árbol de empuje se utilizan conceptos básicos de la teoría de grafos y de optimización de flujos en redes (véase por ejemplo el texto de Ahuja, Magnanti y Orlin).3 En el Apéndice se incluyen algunos términos para darle mayor claridad a la exposición. Sea G = (V (G ), E (G ) un grafo no dirigido y sea l (e) = l (u , v) > 0 la longitud de la arista 17 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. l (e) la e = (u , v) ∈ E (G ). . Además sea l ( H ) = e∈∑ E(H ) longitud del subgrafo H de G. Entonces se puede modelar el problema del PT como sigue: Dado un grafo G, un nodo origen s ∈ V (G ) , una tasa de actualización μ ≥ 0 , un conjunto de nodos requerimiento R ⊆ V (G ) , cada uno de estos con una tasa de requerimiento r (v) ≥ 0 , ∀v ∈ R , encontrar un subgrafo PT de G, con s ∈V ( PT ) , y rutas Pv de v a cualquier nodo en V(PT), ∀v ∈ R , tal que: μ l ( PT ) + ∑ r (v )l ( P ) v v∈R sea mínimo. El nodo origen s contiene una parte de la información la cual cambia μ veces por unidad de tiempo. Después de cada cambio, la información actualizada es “empujada” del nodo s a todos los nodos en V(PT) usando las aristas en E(PT). Medimos la cantidad de tráfico generado por un mensaje al recorrer cierta distancia. La cantidad total de tráfico de actualización por unidad de tiempo es igual a a μ l ( PT ) donde a es el tamaño (número de bits) de un mensaje de actualización. La información requerida del nodo s por los nodos requerimiento se almacena en r(v) que es el número de veces por unidad de tiempo que se necesita información en el nodo v ∈ R . Cada requerimiento es causado por un mensaje requisitor (de tamaño b) a ser enviado sobre la ruta Pv (sobre la cual se aplica el mecanismo de “jalar”) del nodo v a un nodo en PT el cual contiene una copia actualizada de la información. Este nodo envía un mensaje de respuesta (de tamaño c) a v usando la misma ruta pero ahora en la dirección contraria. La cantidad total de tráfico de requerimiento por unidad de tiempo es igual a: ∑ r (v)(b + c)l ( P ) v v∈R Por comodidad, se normaliza el tamaño del tráfico con a = 1 y utilizando tasas de requerimiento ajustadas que son obtenidas de multiplicar la ecuación original por un factor (b+c). Esto resulta en un tráfico total que es igual a μ l ( PT ) + ∑ r (v)l ( P ) . Es fácil ver que en la solución óptima PT es un árbol. Para probarlo, suponga que PT=(V(PT), E(PT)) contiene v v∈R 18 un ciclo C. Sea e una arista del ciclo. Entonces el subgrafo PT' = (V ( PT ), E ( PT )\{e}) todavía está conectado y todos los nodos en V(PT) aún están recibiendo mensajes de actualización. Sin embargo, el tráfico de actualización generado por PT´ es μl (e) y es más pequeño que el tráfico generado por PT. Además, para un árbol dado PT, la ruta óptima Pv para un nodo requerimiento v es una ruta más corta de v a cualquier nodo en PT. Encontrar esta ruta es fácil, sin embargo la principal dificultad es encontrar el óptimo PT. Suponga que μ es lo suficientemente pequeño (digamos μ < r (v), ∀v ∈ R ). Considere una solución al correspondiente problema del PT en el cual se tiene un nodo requerimiento que no está en PT. Por lo tanto la ruta por la cual se “jala” la información tiene una longitud positiva. Incluyendo todas las aristas en Pv , en el árbol de empuje se generará un tráfico de actualización adicional de μl ( Pv ) que resultará en una reducción en el tráfico de requerimiento dado por r (v)l ( Pv ) . El efecto en la red es una reducción en el tráfico total. Todos los nodos en R deben ser incluidos en el árbol de empuje, y el óptimo PT es el mínimo árbol que conecta todos los nodos en R ∪ {s} . Este árbol es conocido como el árbol de Steiner de R ∪ {s} en G. Encontrar el árbol de Steiner es un problema NP-difícil,4 por lo tanto el problema del PT también es NP-difícil. Esto significa que cualquier algoritmo que pretenda encontrar la solución exacta al problema emplea un tiempo de cómputo que crece exponencialmente con el tamaño del problema en el peor de los casos. Por otro lado si μ es suficientemente grande r (v) ), entonces el óptimo PT (digamos μ > ∑ v∈R consiste de un sólo nodo s. Sea w un nodo hoja de un árbol de empuje PT, y sea e = (u , v) ∈ E ( PT ) . Eliminar w y e de PT causa una reducción del tráfico de actualización dado por μl (e) y un incremento en r (v)l (e) . el tráfico de requerimiento de al menos ∑ v∈R Otra vez el efecto en la red es la reducción del tráfico total. Este proceso puede ser repetido sólo cuando s está en PT. El problema del PT es equivalente a encontrar las rutas más cortas de cada nodo en R a s. Se podría decir que el problema del PT cambia de ser un problema de árbol de Steiner a ser un problema de rutas más cortas cuando la tasa de actualización μ se incrementa. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DEL ÁRBOL DE STEINER Dado un grafo G=(N,A) donde N es un conjunto de nodos y A es un conjunto de aristas, además de un conjunto de nodos requerimiento R ⊂ N y un nodo s ∈ R que representa el nodo fuente, una formulación matemática del problema del árbol de Steiner está dada como sigue. Parámetros: c = Costo por utilizar la arista (i, j ) ij Variables de decisión: x = Flujo de la arista (i, j ) z = 1 si la arista (i, j ) se utiliza y 0 si no. w = 1 si el nodo i es fuente y 0 si no. ij ij 1. Calcular las rutas más cortas entre todos los pares de nodos. 2. Calcular el mínimo árbol de expansión. 3. Construcción del árbol de Steiner. A partir de un grafo dado se calculan las rutas más cortas entre cada par de nodos (utilizando el algoritmo de Floyd-Warshall) 3 y este valor reemplazará el peso de las aristas. Una vez obtenida esta información el siguiente paso es encontrar el mínimo árbol de expansión considerando únicamente los nodos requerimiento, después se agregará un elemento del conjunto N\R. Para ilustrar la heurística se presenta un pequeño ejemplo del cual su grafo inicial se muestra en la figura 1. i Modelo: min ∑ cz ij ij ( i , j ) ∈A sujeto a: (1) x ≤ z (| R | −1), ∀ (i, j ) ∈ A (2) ∑ x − ∑ x = 0, ∀i ∈ N \ R ij ij ij (3) (4) ji j ∈N j ∈N ∑ x −∑ x ∑ w =1 ij j ∈N ji = (| R | −1) w + (1 − w )( −1), ∀i ∈ R i i j ∈N i i ∈R (5) z , w ∈{0, 1} (6) x ∈ Z ij i + ij La función objetivo representa la búsqueda de la longitud mínima del árbol de Steiner que para nuestro modelo está estructurado como un problema de flujo en redes. La restricción (1) asegura que el flujo que pasa por la arista (i,j) no excede el requerimiento solicitado por los nodos. La restricción (2) muestra la ecuación de balance nodal para los nodos que no se encuentran en el conjunto R. La restricción (3) señala la ecuación de balance de los nodos requerimiento. La restricción (4) establece que únicamente existe un nodo fuente. Por último, la restricción (5) exige que las variables zij y wi tomen valores binarios y la restricción (6) limita las variables a tomar valores enteros positivos. HEURÍSTICA PARA ENCONTRAR EL ÁRBOL DE STEINER La heurística que se utilizó para encontrar el árbol de Steiner consta de tres pasos: Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Fig. 1. Grafo inicial. A partir del grafo inicial se genera la matriz de incidencia nodo-nodo con las distancias más cortas, en este caso desde el nodo 1 hasta el nodo 7, esto se muestra en la figura 2. Es fácil observar que se trata de una matriz simétrica. Fig. 2. Matriz de incidencia nodo-nodo de las distancias más cortas. 19 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. Con la matriz de la figura 2 se buscan todos los posibles árboles de expansión que puedan construirse con los subconjuntos formados con los nodos requerimiento (en este ejemplo nodos 1, 2 y 3) y cualquier otro nodo del grafo. Los pesos de los árboles encontrados se muestran en la tabla I. Tabla I. Árboles mínimos de expansión encontrados. Árbol Conjunto de nodos a cubrir Peso del árbol 1 (1,2,3) 9 2 (1,2,3,4) 8 3 (1,2,3,5) 9 4 (1,2,3,6) 12 5 (1,2,3,7) 9 De los árboles encontrados se selecciona el de menor peso, para nuestro ejemplo el árbol mínimo es el 2 con un peso de 8, este árbol es el mínimo árbol de Steiner el cual se muestra en la figura 3. está, contribuye con λ (e)l (e) . Si λ (e) > μ sería conveniente incluir a e en el árbol de empuje. Para cualquier μ > 0, el conjunto de aristas e tal que λ (e) > μ forman un subárbol de T que contiene el nodo origen s, este subárbol entonces es el árbol de empuje óptimo para un μ dado. Supongamos la red mostrada en la figura 3. Los números dentro de los nodos representan las correspondientes tasas de requerimiento y los números asociados con las aristas son los valores de λ (e) . Las longitudes de las aristas son irrelevantes para determinar el árbol de empuje óptimo, sin embargo para obtener el tráfico si se toman en cuenta. Se denota w(e) = l (e) ⋅ min{λ (e), μ} el tráfico que pasa a través de la arista e . El total del tráfico es ∑ . entonces e∈E En la figura 4 se muestran los niveles de tráfico que corresponden al árbol óptimo presentado en la figura 1 para diferentes valores de μ. La cantidad total de tráfico se observa en la gráfica de manera cóncava, no decreciente y parece que en algunas secciones se comporta de manera lineal con respecto a μ. La cantidad de tráfico generado por la función “jalar” es no decreciente. Cuando μ se incrementa el tamaño del árbol de empuje decrece. w(t ) = w(e) Fig. 3. Mínimo árbol de Steiner. MÉTODO PARA ENCONTRAR EL ÁRBOL DE EMPUJE Sea T = (V, E) un árbol con origen en s ∈V y sea un conjunto de nodos requerimiento R ⊂ V . Removiendo del árbol T cualquier arista e ∈ E se va a dividir al árbol en dos componentes. Denotemos Ve1 al componente que contiene a s y sea Ve2 el otro componente. Se define la tasa de requerimiento de ∑ .Si una arista una arista e como v∈v e está en el ábol de empuje, este va a contribuir con μl (e) al total de tráfico, si la arista e no λ (e) := r (v ) 2 20 Fig. 4. Relación tráfico-tasa de actualización. EXPERIMENTACIÓN COMPUTACIONAL Para los casos-prueba que se han desarrollado para verificar la eficacia de la heurística implementada se utilizaron 2 herramientas computacionales: a) CPLEX 9.0 mediante su interfaz interactiva en un servidor V440 de 4 procesadores bajo el sistema operativo SolarisTM versión 9, ubicado en el Laboratorio de Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. Cómputo de Alto Rendimiento de la División de Posgrado en Ing. de Sistemas (PISIS) de la FIME, y b) lenguaje C con compilador GNU de Dev C++, en una laptop Dell Inspirion 9400 con 1 GB de memoria RAM y un procesador Intel Duo 1.66GHz, con sistema operativo Windows XP profesional. Para llevar a cabo nuestro análisis de comparación se crearon códigos en lenguaje C para obtener instancias con diferentes parámetros, dicho código genera: la cantidad de nodos, de aristas y su longitud, un conjunto de nodos requerimiento y su tasa de actualización; todo esto se incluye en un archivo de texto a partir del cual se construye un grafo de los siguientes datos: el número de nodos, número de aristas, lista de aristas con su respectivo peso, número de nodos requerimiento, nodo s, lista de nodos requerimiento con su respectiva tasa de actualización. Se generaron grafos de 50, 100 y 150 nodos con 5%, 10% y 15% nodos requerimiento del total de nodos, todos los grafos con densidad del 10%. Para cada combinación se obtuvieron 3 distintas instancias. Los resultados se muestran en la tabla II. Las primeras dos columnas muestran la información de cada instancia (el número de nodos y la cantidad de nodos requerimiento, representado por un porcentaje del total de nodos). En la tercera columna se presenta el tiempo en segundos que tardó CPLEX para llegar a la solución mostrada en la Tabla II. Resultados de la experimentación. Cplex Nodos % de nodos requerimiento Tiempo(seg) Solución Cota IOR(%) Solución Heurística 50 5 1.54 61 61 0.00% 61 50 5 1.36 35 35 0.00% 35 50 5 0.8 36 36 0.00% 36 50 10 3.3 42 42 0.00% 43 50 10 147.68 83 83 0.00% 87 50 10 1.78 45 45 0.00% 50 50 15 6.67 60 60 0.00% 61 50 15 6.58 61 61 0.00% 61 50 15 713.81 95 95 0.00% 98 100 5 2003.55 49 49 0.00% 50 100 5 695.26 34 34 0.00% 36 100 5 1996.41 40 40 0.00% 44 100 10 3600.02 47 42.2 10.17% 47 100 10 3600.01 52 34.2 34.21% 55 100 10 3600.02 52 34.5 33.58% 59 100 15 3600.01 66 44.5 32.45% 70 100 15 3600.02 74 50.1 32.27% 79 100 15 3600.02 83 60.8 26.70% 89 150 5 3600.03 36 19.4 46.03% 39 150 5 3600.02 42 21.1 49.70% 47 150 5 3600.02 47 26.6 43.24% 49 150 10 3600.02 64 43.4 32.05% 70 150 10 3600.01 76 35.7 53.02% 71 150 10 3600.01 83 42.0 49.33% 82 150 15 3600.06 99 53.5 45.92% 109 150 15 3600.01 83 40.2 51.56% 90 150 15 3600.02 79 47.4 39.90% 92 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 21 �El problema del árbol de empuje en sistemas de telecomunicaciones / Karla V. Martínez Facundo, et al. cuarta columna, esta representa el costo en unidades para satisfacer la tasa de actualización de los nodos requerimiento. En la quinta columna podemos ver la cota inferior encontrada por CPLEX de cada uno de los problemas. En la sexta columna se observa el intervalo de optimalidad relativa (IOR) alcanzado para cada uno de los problemas, es decir, la diferencia relativa entre la mejor solución factible y la mejor cota inferior encontradas por CPLEX. En dicha columna, un valor de 0.00% indica que la solución de CPLEX es óptima. En la última columna se observa el valor de la solución encontrado por la heurística que se implementó. El tiempo de ejecución de la heurística no se muestra ya que es relativamente pequeño (menos de 5 segundos en cualquiera de las instancias), comparado con el de CPLEX. Podemos observar que los resultados obtenidos por la heurística para problemas de 50 nodos y 5% nodos requerimiento la solución encontrada es óptima mientras que para los de 10% nodos requerimiento la solución de la heurística difiere de la óptima en 3.3 unidades en promedio, y 1.3 unidades promedio para las de dimensión de 15% nodos requerimiento; debemos aclarar que el tiempo de ejecución para encontrar la solución óptima por CPLEX depende en gran medida de la estructura del grafo. Además para casos pruebas con 100 y 150 nodos ya sea con 5, 10 y 15% nodos requerimiento el tiempo que usa CPLEX para obtener una solución es grande, a comparación de la heurística que da una solución en tiempo razonable (menos de 5 segundos para las instancias más grandes), la cual puede ser usada como una buena cota superior para estos problemas. REFERENCIAS 1. F. Havet y M. Wennink. The push tree problem. Networks, 44(4):281-291, 2004. 2. ILOG, S.A. CPLEX 9.0 Online Documentation, 2003. http://yalma.fime.uanl.mx/cplex-manual/ 3. R.K. Ahuja, T.L. Magnanti y J.B. Orlin. Network Flows. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, EUA, 1993. 4. M.R. Garey y D.S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NPCompleteness. W.H. Freeman and Company. New York, EUA. 1979. APÉNDICE En este apartado se incluye la definición de algunos términos de teoría de grafos y redes usados durante la exposición del trabajo. Ruta: Una secuencia de nodos adyacentes i1 − i2 − … − ir en un grafo en la cual no hay repetición de nodos. Ciclo: Ruta i1 − i2 − … − ir agregándole la arista (ir , i1 ) . Nodo hoja: Vértice de un grafo que tiene solo una arista incidente. Matriz de incidencia nodo-nodo: Representación del grafo en una matriz de n × n H = hij donde h es 1 si la arista (i, j ) ∈ A y 0 en otro caso. { } ij Densidad de un grafo: Cociente entre el número m de aristas y el número de aristas del grafo completo de n vértices. Se denota como: d = 2m n( n − 1) CONCLUSIONES Se pudo constatar que empleando la heurística desarrollada se obtuvieron buenos resultados en un tiempo razonablemente pequeño. La aplicación de este método es de gran ayuda en el área de telecomunicaciones para minimizar el tráfico en las redes de información. Mínimo árbol de expansión: Árbol de expansión de costo mínimo. AGRADECIMIENTOS Los primeros cuatro autores agradecen al CONACYT por su apoyo económico como becarios del Programa de Maestría en Ciencias en Ing. de Sistemas de la FIME. Problema del Árbol de Steiner: Dado un subconjunto S ⊆ N de nodos, llamados nodos requerimiento. Se desea determinar el árbol de mínimo costo (no necesariamente árbol de expansión) que debe contener todos los nodos en S y opcionalmente, algunos nodos en N\S. 22 Árbol de expansión: Grafo conexo sin ciclos que abarca todos los nodos de una red no dirigida. Su costo es la suma de los costos de cada uno de los arcos que lo conforman. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �La causalidad en la física: Johannes Kepler José Luis Álvarez García Departamento de Física, Facultad de Ciencias, UNAM jlag@hp.fciencias.unam.mx RESUMEN En este artículo se presenta cómo aparece la noción de causalidad en la física a través de la obra del gran astrónomo alemán Johannes Kepler, en contraste con la tradición instrumentalista representada por la astronomía ptolomeica. PALABRAS CLAVE Causalidad, instrumentalismo, astronomía, física, Kepler. Johannes Kepler [1571-1630]. Artículo publicado en el Boletín de la Sociedad Mexicana de Física, Vol. 20, No. 3, correspondiente a julio-septiembre 2006. Reproducido con la autorización de la SMF y del autor. ABSTRACT This article presents how the notion of causality in physics appears in the work of the great german astronomer Johannes Kepler, by contrasting the notions that he uses against the instrumentalist tradition represented by ptolemaic astronomy. KEYWORDS Causality, instrumentalism, astronomy, physics, Kepler. LA NOCIÓN DE CAUSALIDAD En la naturaleza nada permanece constante. Todo se encuentra en continuo cambio y transformación. No obstante, descubrimos que nada surge simplemente de la nada, sin tener algún antecedente que ya existía. De igual forma, nada desaparece nunca sin dejar huella, en el sentido de que no exista después absolutamente nada. Esta característica general del mundo puede ser expresada en función de un principio que resume un enorme dominio de diferentes clases de experiencias y que jamás ha sido negado hasta ahora por ninguna observación o experimento, ya sea científico o de otra índole. Tal principio es el de que todo surge de otras cosas y da origen a otras cosas. Este principio todavía no es la afirmación de la existencia de la causalidad en la naturaleza, sino que es incluso más fundamental que la causalidad, porque es el fundamento de la posibilidad de que entendamos a la naturaleza en una forma racional. El siguiente paso es entonces el de advertir que, a medida que estudiamos los procesos que se realizan conforme a una gran variedad de condiciones, descubrimos que dentro de la complejidad de los cambios y transformaciones existen relaciones que permanecen efectivamente constantes. De la extremada generalidad de este tipo de comportamiento en los procesos, empezamos a considerar la posibilidad de que en estos procesos, por medio de los cuales una Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 23 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García cosa surge de otras, no es una mera coincidencia la constancia de ciertas relaciones, dentro de una amplia variedad de transformaciones y cambios. Más bien, hacemos la interpretación de que esta constancia significa que dichas relaciones son necesarias, en el sentido de que no podrían ser de otro modo, porque representan aspectos esenciales e inherentes de la existencia de las cosas. Las relaciones necesarias entre objetos, sucesos, condiciones u otras cosas en un momento dado, y los subsecuentes, reciben el nombre de leyes causales. Sin embargo, en este punto nos encontramos con que la necesidad de una ley causal jamás es absoluta. Por ejemplo, consideremos la ley de que un objeto soltado en el aire caerá. En realidad, esto es lo que generalmente sucede; pero, si el objeto es una hoja de papel, puede elevarse si “por azar” soplara viento. En consecuencia, advertimos que debemos concebir como necesaria a esa ley, solamente si hacemos abstracción de las contingencias. Tales contingencias conducen al azar. De aquí que concibamos la necesidad de una ley de la naturaleza como condicional, puesto que sólo es aplicable en el grado en que estas contingencias puedan ser despreciadas. En muchos casos así es. Por ejemplo, en el movimiento de los planetas, las contingencias son enteramente insignificantes para todo propósito práctico. Pero, en la mayoría de los casos, es evidente que las contingencias tienen mucha mayor importancia. Sin embargo, incluso donde las contingencias tienen importancia, por abstracción podemos considerar a la ley causal como algo que sería aplicable si éstas no se presentaran. En resumen, podemos decir que a la categoría general de ley, que incluye las leyes causales, las leyes del azar y las leyes que relacionan a estas dos clases de leyes, se les denomina leyes de la naturaleza. Ahora bien, una asociación regular entre un conjunto dado, A, de acontecimientos o condiciones en el pasado, y otro conjunto, B, en el futuro, no implica necesariamente que A sea la causa de B. Por el contrario, puede implicar que A y B están asociadas simplemente porque ambos son el resultado de algún conjunto de causas comunes, C, que es anterior a A y a B. Por ejemplo, generalmente las hojas se desprenden de los árboles antes del invierno. Sin embargo, la pérdida de las hojas no es la causa del invierno, sino más bien es el efecto 24 del proceso general de descenso de la temperatura, que primero provoca la pérdida de las hojas por los árboles y luego el advenimiento del invierno. Está claro, pues, que el concepto de relación causal implica algo más que una simple asociación regular en la cual un conjunto de acontecimientos precede a otro en el tiempo. Implica, además (naturalmente, haciendo abstracción de las contingencias), que los efectos futuros surgen de causas pasadas a través de un proceso que satisface las relaciones necesarias y, como es evidente, la simple asociación no basta para comprobar esta clase de conexión. Una importante manera de obtener pruebas a favor de la suposición de que un conjunto dado de acontecimientos o condiciones proviene necesariamente de otro, es demostrar que el hacer una amplia variedad de cambios en una o más de las causas supuestas, bajo condiciones tales que los otros factores permanezcan constantes, produce los cambios correspondientes en los efectos. Cuantas más coordinaciones de este tipo puedan ser demostradas en los cambios de los dos conjuntos de acontecimientos, mayor es la evidencia de que están causalmente relacionados; y con un número suficientemente grande llegamos a tener la certeza, para propósitos prácticos, de que esta hipótesis de relación causal es correcta. EL INSTRUMENTALISMO La noción de causalidad que consideramos en términos muy generales en la sección anterior, corresponde a la noción clásica que caracteriza a la ontología, es decir, a la rama de la filosofía que estudia las causas últimas de las cosas. Esta noción Tales [625-547 a.n.e.]. Heráclito[550-480 a.n.e]. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García está en la línea de pensamiento que se inicia en el siglo VII a.n.e. con las obras de los filósofos jónicos como Tales, Anaxímenes, Anaximandro, Empédocles, Heráclito etc. Por el otro lado, tenemos la tradición filosófica idealista iniciada por Parménides (siglo VI a.n.e.), quien sostiene en su obra la idea de la preponderancia de la razón sobre los sentidos para el conocimiento del Mundo. Parménides considera que el camino de las apariencias, el ser y el dejar de ser, es producto de las limitaciones del hombre. El hombre se sirve de los sentidos para conocer, pero éstos no ofrecen al hombre sino apariencias. Parménides hace también una cosmología, como el resto de los filósofos presocráticos, pero haciendo notar que esta cosmología no es sino producto de las opiniones de los hombres, no de la razón. Para la razón no existe otra cosa que la unidad. Esta tradición es continuada por Platón (428347 a.n.e.) y es en La República donde el filósofo ateniense muestra que ha adquirido una conciencia plena del mundo “ideal” y de la irrealidad del mundo de los sentidos, y pide a sus lectores no prestar atención al cosmos visible: “…Hemos de pensar, desde luego, de esa policromía con que está adornado el cielo, que es, con mucho, lo más hermoso y lo más perfecto que puede existir. Ahora bien, esa belleza queda por debajo de la belleza verdadera, que es lo que produce la velocidad y lentitud características en la relación de ambas, según el verdadero número y según todas las verdaderas figuras que se mueven a sí mismas y mueven a la vez lo que hay en ellas. Todo esto es accesible a la razón y al pensamiento, pero no a la vista. Parménides [siglo VI a.n.e.]. Platón [428-347 a.n.e.]. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 “…Por tanto…para la práctica de la astronomía acudiremos a los problemas, lo mismo que cuando empleamos la geometría. Dejaremos a un lado las cosas del cielo, si realmente queremos, ahondando en el estudio de la astronomía, obtener algún provecho de la parte inteligente que por naturaleza hay en el alma.”.a Siguiendo ideas pitagóricas, Platón creyó que los cuerpos celestes eternos deben moverse en círculos perfectos a velocidad uniforme. Los movimientos observados de los planetas parecían contradecir esta hipótesis. Platón ya había planteado este problema a los miembros de la Academia para explicar las irregularidades de los movimientos observados, en el supuesto de que, a pesar de las apariencias, los cuerpos estaban, de hecho, moviéndose en círculos perfectos a una velocidad uniforme. El astrónomo y matemático Eudoxo (408-355 a.n.e.) da la respuesta requerida y la astronomía de éste se convirtió en la “verdadera” astronomía. Platón señala la inutilidad de los sentidos para conocer la realidad profunda de las cosas, a la cual sólo se puede acceder mediante la razón. En este sentido aconseja que los astrónomos no deberían intentar explicar la esencia de los fenómenos sino contentarse con describir, utilizando la geometría, sus observaciones. De esta posición filosófica proviene el instrumentalismo de los neoplatónicos, quienes para explicar el complicado movimiento de los planetas –que a simple vista parecen frenarse y, formando un lazo, retroceden sobre sus mismos pasos- elaboraron sistemas de esferas concéntricas para “salvar los fenómenos”. Como resultado de las diversas concepciones que se tenían del Universo desde tiempos muy remotos tenemos la cosmología adoptada y desarrollada por el astrónomo Ptolomeo en el siglo II y plasmada en su obra el Almagesto o Sintaxis Matemática. El origen de esta concepción radica en lo que se denomina el universo de las dos esferas, concepción aceptada desde el siglo IV a.n.e. por la mayoría de los astrónomos y filósofos. Consiste de una esfera inmóvil, relativamente pequeña que representa a la Tierra suspendida en el centro geométrico de una esfera mucho mayor, ésta está en rotación y lleva consigo a las estrellas. En el espacio comprendido entre estas dos esferas concéntricas se desplaza el Sol. Fuera de la esfera exterior no había absolutamente nada, ni espacio ni materia. La Edad Media heredó 25 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García una versión desarrollada de la teoría de las dos esferas. De esta manera, ya desde el siglo II el ordenamiento de los cuerpos celestes, dentro del espacio comprendido por las esferas de la Tierra y de las estrellas era el siguiente: la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno; todos ellos girando en torno a la Tierra en órbitas perfectamente circulares. El sistema de las dos esferas resultaba altamente satisfactorio si se consideraban al Sol y a las estrellas como los únicos cuerpos celestes. No obstante, se conocen otros cuerpos en el firmamento, los planetas, y el interés de los astrónomos por los mismos fue la principal fuente de la innovación de Copérnico. Aristóteles (384-322 a.n.e.), preocupado por hallar un mecanismo real que explicara dichos movimientos, consideró que existían unos caparazones concéntricos al centro del Universo (la Tierra), formados de una substancia muy sutil que denominó éter, y dentro de los cuales se hallaban contenidos los planetas. Para Aristóteles, el número total de esferas cristalinas necesarias era de cincuenta, o en el mejor de los casos cuarenta y siete, pero dejaba “a otros más hábiles el cuidado de demostrarlo”. En este sentido, el problema fue enfrentado olvidándose del mecanismo real de dicho movimiento y la búsqueda de su solución adquirió una forma diferente (en la tradición instrumentalista expresada por Platón anteriormente): se desarrollaron una serie de ingeniosas y elaboradas técnicas matemáticas para describir los movimientos planetarios. Apolonio e Hiparco de Rodas (siglos III y II a.n.e.) elaboraron epiciclos y deferentes; más tarde se elaboraron técnicas más complicadas agregando excéntricas y ecuantes, con la finalidad de describir con mayor precisión los complicados movimientos planetarios. Fue en el Almagesto donde se recopiló la parte esencial de la astronomía antigua y representó el primer tratado Aristóteles [384-322 a.n.e.]. 26 Ptolomeo [100-170]. matemático elaborado de una manera sistemática, que daba una explicación completa, detallada y cuantitativa de todos los movimientos celestes. Era éste, en términos muy generales, el estado de la cosmología en la época en que Nicolás Copérnico (1473-1543) plantea su innovación, quitando a la Tierra del centro del Mundo y colocando al Sol en su lugar. Y es la tradición instrumentalista, si nos atenemos al famoso Prefacio que Andreas Osiander (1498-1552) escribe como presentación del Revolutionibus Orbium Coelestium, la que continúa esa obsesión por la esfera y el círculo que dominó al pensamiento occidental durante dos mil años, y la que estará operando al inicio del periodo de la ciencia conocido como Revolución Científica de los siglos XVI y XVII. KEPLER Y LA CAUSALIDAD “Johannes Kepler, Keppler, Khepler, Kheppler, o Keplerus, fue concebido el 16 de marzo del año 1571, a las 4:37 de la madrugada, y nació el 27 de diciembre a las 2:30 de la tarde, tras un embarazo que duró 224 días, 9 horas y 53 minutos”.b Todas estas formas de deletrear su nombre y los datos exactos de las fechas de concepción, embarazo y nacimiento fueron registradas en un horóscopo que Kepler (1571-1630) realizó para sí mismo, y revelan -tal y como lo señala A. Koestler en la biografía que realizó del gran astrónomo alemán- una mente para la cual la realidad definitiva, la esencia de la religión, la verdad y la belleza estaban contenidas en el lenguaje de los números. Kepler empezó su carrera con la publicación de cartas astrológicas. Lo hizo para ganarse la vida, llamaba a la astrología “la hermanastra de la astronomía” y a las profecías populares “una asombrosa superstición” y “una imitación de sortilegios y hechicerías”. En su diario escribió: “Una mente acostumbrada a la deducción matemática, cuando afronta los imperfectos fundamentos [de la astrología], resiste durante largo, largo tiempo, como una obstinada mula, hasta que, obligada por los palos y las maldiciones, no tiene más remedio que meter su pata en ese sucio charco”.c Despreciaba esas burdas prácticas y se despreciaba a sí mismo por tener que recurrir a ellas, pero creía al mismo tiempo en la posibilidad de una nueva y auténtica astrología como una ciencia experimental exacta. Escribió algunos tratados serios sobre Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García astrología tal y como él la entendía, y este tema se inmiscuye constantemente incluso en sus tratados científicos más clásicos. Uno de esos tratados lleva como lema “una advertencia a algunos teólogos, físicos y filósofos…de que, aunque rechacen justamente las supersticiones de los astrólogos, no olviden que no deben tirar al niño junto con el agua del baño”. Porque “nada existe ni ocurre en el cielo visible que no sea sentido de alguna manera oculta por las facultades de la Tierra y la Naturaleza: [así pues] esas facultades del espíritu aquí en la Tierra se hallan tan afectadas como en el propio cielo”; e insiste nuevamente: “Que el cielo influye sobre el hombre es bastante obvio; pero de qué forma lo hace es algo que aún permanece oculto”.d Vemos, entonces, que Kepler consideraba las prácticas astrológicas de su tiempo como charlatanería, pero solamente en la medida en que un médico moderno, por ejemplo, desconfía de una dieta adelgazante no comprobada, pero sin dudar por un momento de la influencia de la misma en la salud y en la silueta. Y añade: “La creencia en el efecto de las constelaciones deriva en primer lugar de la experiencia, que es tan convincente que sólo puede ser negada por la gente que no la ha examinado”.e Para una mente inquisitiva, desconocedora del proceso mediante el cual la herencia y el medio ambiente modelan el carácter de un hombre, ¿qué otra explicación podía haberse encontrado en aquella época? La astrología, de muy diversas maneras, era el medio obvio de relacionar al individuo con el Universo, haciéndole reflejar la total constelación del mundo, estableciendo una íntima simpatía y correspondencia entre el microcosmos y el macrocosmos. A menos que pudiéramos explicarlo todo mediante la predestinación por sí misma, y haciendo entonces que careciera de sentido cualquier investigación posterior sobre la Naturaleza, era lógico suponer que la condición y el destino de los seres humanos venían determinados por los mismos movimientos celestes que determinan el clima y las estaciones, la calidad de las cosechas, la fertilidad de los animales y plantas, etc. En pocas palabras, para una mente científica como la de Kepler, el determinismo astrológico era el precursor del determinismo biológico y psicológico. Vayamos ahora al 9 de julio de 1595 de la vida de Kepler –fecha que fue registrada minuciosamente Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Kepler [1571-1630]. en su diario-. Él se encontraba haciendo el dibujo de una figura en la pizarra para sus alumnos, cuando de improviso le llegó una idea con tal fuerza que lo hizo estar convencido de que poseía la clave del secreto de la creación en la mano. “El deleite que extraje de mi descubrimiento –escribiría más tarde- es algo que jamás seré capaz de describir con palabras”.f Este descubrimiento determinó el curso de su vida y fue su principal inspiración a lo largo de toda ella. La idea era que el Universo está construido con base en ciertas figuras simétricas (triángulo, cuadrado, pentágono, etc.) que forman su esqueleto invisible. La idea, no obstante ser completamente falsa, llevó a Kepler a formular sus leyes, a la demolición de la antigua concepción del Universo y al nacimiento de la moderna cosmología. Esto lo hallamos expuesto en su primer libro, el Mysterium Cosmographicum, que publicó cuando tenía veinticinco años. Después de largos y laboriosos intentos en los que fracasó en su búsqueda por hallar proporciones en las órbitas de los planetas, llegó la mencionada clase. Pensó en insertar las figuras geométricas entre las órbitas de los planetas, pero no funcionó. “Y entonces seguí avanzando. ¿Porqué buscar formas bidimensionales que encajaran entre sus órbitas en el espacio? Había que buscar formas tridimensionales…[y he aquí, querido lector, que ahora tienes mi descubrimiento en tus manos]”.g En términos generales su modelo es el siguiente: Es posible construir tantos polígonos regulares como se desee en dos dimensiones, pero sólo se pueden construir cinco sólidos regulares en un espacio de tres dimensiones. Esos “sólidos perfectos” o “pitagóricos”, en los que todas las caras son iguales, son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y 27 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García el icosaedro. Dado que son perfectamente simétricos, cada uno puede ser inscrito dentro de una esfera, de tal modo que sus vértices se apoyen en la superficie de la misma. Igualmente, cada uno de ellos puede ser circunscrito en torno a una esfera, de forma que ésta toque el centro de cada una de las caras del sólido correspondiente. Euclides había demostrado que sólo pueden ser construidos esos cinco sólidos. En aquel entonces sólo se conocían seis planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) entre cuyos espacios –pensó Kepler- se podían insertar los cinco sólidos pitagóricos. Era sumamente difícil creer que esto fuera producto del azar y no de la disposición divina. Proporcionaba la respuesta a la pregunta de por qué sólo había seis planetas y no veinte o cien. Permitía comprender también el por qué de las distancias entre las órbitas planetarias; éstas debían estar dispuestas de tal manera que los cinco sólidos pudieran encajar perfectamente dentro de ellas. Kepler pensó que encajaban. Dentro de la órbita, o esfera, de Saturno, Kepler inscribió un cubo; y dentro del cubo otra esfera, que era la de Júpiter. Inscrita en ésta se hallaba el tetraedro, e inscrita en él la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio estaba el octaedro. El misterio del Universo había sido resuelto por el joven Kepler, profesor de la escuela protestante de Gratz, y así lo expresa en el Mysterium Cosmographycum: “¡Es sorprendente! Aunque aún no sabía claramente el orden en que debían estar dispuestos los sólidos perfectos, lo conseguí… disponiéndolos con tanto acierto que, cuando después hice las pertinentes comprobaciones, no tuve que cambiar nada. Ahora ya no lamentaba el tiempo perdido; ya no me sentía cansado de mi Modelo cosmológico de Kepler. 28 trabajo; ya no temía los cálculos, por difíciles que fueran. Pasé día y noche efectuándolos para ver si la proposición que había formulado encajaba con las órbitas copernicanas o si mi alegría era barrida por los vientos… Al cabo de unos pocos días todo encajaba en su lugar. Vi cómo, uno tras otro, los sólidos simétricos encajaban tan perfectamente en las órbitas adecuadas que si un campesino preguntara de qué tipo de gancho están colgados los cielos para que no se caigan, resultaría muy fácil explicárselo. ¡Adiós!”h Es sumamente interesante ver cómo la errónea creencia de Kepler en los cinco sólidos perfectos no fue una ilusión pasajera, sino que la mantuvo, en una versión modificada, hasta el fin de sus días, y –tal y como señala Koestler- aunque presenta todos los síntomas de una ilusión paranoide, sin embargo funcionó como el vigoroso motor de sus inmortales logros. Kepler escribió el Mysterium cuando tenía veinticinco años y publicó una segunda edición un cuarto de siglo más tarde, hacia el final de su vida, cuando ya había realizado todo su trabajo y había descubierto sus tres leyes, destruido el universo ptolomeico y sentado los fundamentos de la moderna cosmología. El Mysterium Cosmographycum es el primer reconocimiento público del sistema copernicano. Galileo, seis años mayor que Kepler, y algunos astrónomos como Maestlin, guardaban silencio o sólo se mostraban de acuerdo con Copérnico en privado. Kepler pretendió añadir en el primer capítulo de su libro una prueba de que no había contradicción con las Sagradas Escrituras, pero el director de la Facultad de Teología de Tubinga, cuyo consentimiento era necesario para la publicación del libro, le indicó que abandonara –en la tradición del famoso prefacio de Osiander- cualquier reflexión teológica y tratara las hipótesis de Copérnico como algo puramente formal y matemático. Sin embargo, Kepler hizo todo lo contrario, proclamando que el sistema copernicano era literal, física e incontrovertiblemente exacto. El sistema de Copérnico era, para Kepler, “un tesoro inagotable de intuición auténticamente divina acerca del maravilloso orden del mundo y todos los cuerpos que se hallan en él”. La primera parte del libro habla de teología, astrología, numerología, simbología del Zodiaco y habla de la armonía de las esferas, buscando correlaciones entre sus sólidos perfectos y los intervalos armónicos de la música. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García La segunda parte es diferente y sólo se hallan unidas entre sí únicamente por su leitmotiv común. La primera parte es medieval, apriorística y mística; la segunda es moderna y empírica. El Mysterium Cosmographicum es el perfecto símbolo de la gran línea divisoria entre dos edades del pensamiento. En la segunda parte Kepler se pone decididamente a comprobar las proporciones de su modelo del Universo con los datos observados. Puesto que los planetas no giran en torno al Sol en círculos sino en órbitas ovaladas (que años más tarde identificó como elipses a través de su primera ley), la distancia de cada planeta al Sol varía dentro de ciertos límites. Esta variación (o excentricidad) la resolvió otorgando a cada planeta una envoltura esférica del espesor suficiente como para acomodarse a la órbita ovalada entre sus paredes. La pared interior representa la distancia mínima del planeta al Sol, la pared exterior su distancia máxima. El espesor de cada envoltura y los intervalos entre ellas fueron extraídos de los cálculos de Copérnico. En el prefacio, Kepler había afirmado que las órbitas estaban espaciadas de tal modo que los cinco sólidos cabían exactamente entre ellas. Ahora descubría que no. Kepler encontró que para las órbitas de Marte, Tierra y Venus había una buena correlación, pero no para Júpiter y Mercurio. Eliminó el problema respecto a Júpiter con la ingenua observación de que “nadie pensará mucho en ello, teniendo en cuenta la gran distancia”. Respecto a Mercurio, simplemente hizo trampa. En los siguientes capítulos Kepler intentó varios métodos para explicar las incoherencias de su modelo. La falla debía residir o bien en éste o en los datos de Copérnico; y Kepler prefería culpar a los últimos. Descubrió que Copérnico había colocado en el centro del Universo no exactamente al Sol, sino al centro de la órbita de la Tierra. Intentó con nuevas cifras, e incluso recurrió a la ayuda de su viejo maestro, Michael Mestlin, pero no sirvió en absoluto; sin embargo, consiguió de golpe, y sin darse cuenta, colocar el centro del Sistema Solar en el lugar que realmente le correspondía. Posteriormente tuvo problemas también respecto a la posición de la Luna. Aquí simplemente decidió tomar la decisión que más se adaptara a su modelo. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Decidió, entonces, emprender un ataque frontal contra los datos de Copérnico. Encontró que los datos del astrónomo polaco eran poco confiables e incluso afirmó que también había hecho trampas. En los primeros veinte capítulos de su libro, Kepler había estado preocupado por hallar razones para el número y distribución espacial de los planetas. Se había convencido a sí mismo de que los cinco sólidos proporcionaban todas las respuestas, y de que las discrepancias observadas se debían a las cifras erróneas de Copérnico. En estas circunstancias se enfrentó con un problema distinto y más prometedor, que ningún astrónomo antes que él había planteado: buscar una relación matemática entre la distancia de un planeta al Sol y su periodo de revolución en torno a éste. Estos periodos eran conocidos desde la antigüedad con una considerable precisión. En números redondos, Mercurio necesita tres meses para completar una revolución, Venus siete meses y medio, la Tierra un año, Marte dos años, Júpiter doce años y Saturno treinta años. Cuanto mayor es la distancia al Sol, el planeta ocupa más tiempo en completar una revolución. Pero esto es cierto en términos completamente generales, faltaba una relación matemática. Saturno, por ejemplo, se halla dos veces más lejos del Sol que Júpiter, y en consecuencia debería necesitar el doble de tiempo en recorrer su órbita, o sea veinticuatro años; pero lo hace en treinta. Algo similar se puede afirmar de los demás planetas. Kepler encontró que a medida que los planetas se alejan del Sol su movimiento se torna más lento. Si viajaran siempre a la misma velocidad, Saturno, con una órbita dos veces más larga que la de Júpiter, necesitaría el doble de tiempo para completar una revolución; sin embargo necesita dos veces y media. Nadie antes que Kepler se había planteado la pregunta de por qué era así, y nadie se había hecho también la pregunta de por qué solamente había seis planetas. La última resultó totalmente estéril, la primera resultó enormemente fértil. La respuesta de Kepler fue que debía existir una fuerza que emana del Sol y que hace posible que los planetas se muevan en sus órbitas. Los planetas exteriores se mueven más lentamente debido a que esta fuerza les llega 29 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García disminuida en proporción a su distancia “del mismo modo que lo hace la fuerza de la luz”. Por primera vez desde la antigüedad, se hacía un intento no sólo de describir los movimientos celestes en términos geométricos, sino de asignarles una causa física. Hemos llegado al punto en que la astronomía y la física se hallan de nuevo, en un divorcio que duró dos mil años. La unión de estas dos mitades produjo las tres leyes de Kepler, que son los pilares sobre los que Newton construyó el universo moderno. En el siguiente pasaje clave del Mysterium Cosmographycum vemos cómo Kepler llega a su resultado: “Si deseamos acercarnos a la verdad y establecer alguna correspondencia en las proporciones [entre las distancias y las velocidades de los planetas], entonces debemos elegir entre estos dos supuestos: o las almas que mueven los planetas son menos activas cuanto más lejos se halla el planeta del Sol, o existe tan sólo un alma motora en el centro de todas las órbitas, es decir el Sol, que dirige a los planetas más vigorosamente cuanto más cerca está, pero cuya fuerza se halla casi exhausta cuando actúa sobre los planetas exteriores debido a la larga distancia y a la debilitación de la fuerza que lo vincula”.i Los detalles de la teoría de Kepler eran de nuevo completamente erróneos. La fuerza motriz que él atribuía al Sol no se parece en nada a la fuerza de gravedad, era –como señala Koestler en su libro- una especie de látigo que acicateaba a “los indolentes planetas para que sigan su curso”. Como resultado de ello, el primer intento de Kepler de formular la ley que relaciona las distancias planetarias con los periodos era tan claramente errónea, que él mismo lo tuvo que admitir. Pero fue el mismo Kepler quien encontró la solución correcta, al final de su vida, a través de su tercera ley. Sin embargo, poco faltó para que Newton no pudiera disponer de las leyes de Kepler. Éstas sólo podían ser descubiertas con la ayuda de los inigualables datos del “tesoro de Tycho”; y cuando Kepler lo conoció sólo le quedaban dieciocho meses de vida. Kepler parte para su encuentro con Tycho Brahe (1546-1601) el 1 de enero de 1600. Su llegada a la isla de Tycho significó una reorganización en el trabajo de los asistentes de éste. A Kepler le 30 encomendaron el estudio de las posiciones del planeta Marte, cuyo movimiento había derrotado a Tycho y a sus asistentes. Kepler alardeó de que iba a resolver el problema de su órbita en ocho días, e incluso hizo una apuesta en torno a ello. Los ocho días se transformaron en ocho años, pero de esa lucha con el recalcitrante planeta surgió su libro Astronomía Nova. Tycho murió el 24 de octubre de 1601, el 6 de noviembre de ese año, Kepler fue nombrado sucesor de Tycho en el cargo de matemático imperial, y permaneció en Praga como tal entre 1601 y 1612, hasta la muerte de Rodolfo II. Fue el periodo más fructífero de su vida, durante el cual publicó la que podríamos considerar su obra maestra, la que lleva por título: NUEVA ASTRONOMÍA basada en la causalidad o FÍSICA CELESTE derivada de las investigaciones de LOS MOVIMIENTOS DE LA ESTRELLA MARTE. Fundada en las observaciones del NOBLE TYCHO BRAHE Kepler trabajó en ella ininterrumpidamente desde 1600 hasta 1606. Contiene las dos primeras de sus leyes planetarias: 1) Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos. 2) Los planetas no se desplazan en sus órbitas con velocidad uniforme, sino de forma tal que una línea trazada desde el planeta hasta el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La tercera ley la publicaría más tarde. Las leyes de Kepler constituyen las primeras leyes naturales en el sentido moderno. Afirmaciones precisas y verificables acerca de las relaciones generales que rigen fenómenos particulares, expresadas en términos matemáticos. Separaron a la astronomía de la teología y la unieron a la física. Tycho Brahe [1546-1601]. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García Además, pusieron fin a la obsesión que gobernó la cosmología occidental durante dos mil años, que era la de esferas girando sobre otras esferas, y la sustituyeron por una visión de cuerpos materiales, similares a la Tierra, flotando libremente en el espacio, movidos por fuerzas físicas actuando sobre ellos. La forma en que Kepler llegó a su nueva cosmología es verdaderamente fascinante y es imposible comprenderla en toda su dimensión en este apretado resumen. No obstante, mencionaremos a grandes rasgos algunos de los hechos más sobresalientes de dicha historia. Recordemos que Tycho encomendó a Kepler el estudio del movimiento de Marte, que había agotado la paciencia de los colaboradores de Tycho y de él mismo. Kepler comentaría más tarde: “Creo que fue un acto de la Divina Providencia el que yo llegara precisamente en el momento en que Longomontanus estaba ocupado con Marte. Porque sólo Marte nos permite penetrar en los secretos de la astronomía que de otro modo permanecerían para siempre ocultos”.j La razón de esta posición clave de Marte es que, de entre todos los planetas exteriores, su órbita es la que mayor excentricidad tiene, y como todos esperaban que los planetas se movieran en círculos, era imposible reconciliar la teoría con las observaciones. Kepler, ya contando con las cifras confiables de Tycho, y asumiendo una actitud de absoluto respeto ante éstas, comienza a modificar su modelo. Él no sabía aún que la órbita era una elipse; todavía creía que era un círculo. Pero incluso así, para conseguir unos resultados aproximadamente correctos, era preciso situar el centro del círculo fuera del centro del Sol. En consecuencia formuló esta pregunta: si la fuerza que mueve los planetas procede del Sol, ¿por qué insisten en girar en torno a un punto fuera del centro del propio Sol? Kepler respondió a la pregunta suponiendo que cada planeta estaba sujeto a dos influencias conflictivas: la fuerza del Sol y una segunda fuerza localizada en el propio planeta. Esta competencia ocasionaba que unas veces se acercara al Sol y otras se alejara de él. Estas dos fuerzas son, como sabemos, la gravedad y la inercia. Kepler nunca llegó a formular tales conceptos, pero preparó el camino para Newton (1642-1727) estableciendo dos fuerzas dinámicas Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Primera y segunda leyes de Kepler. para explicar la excentricidad de las órbitas. Antes que Kepler no se había sentido la necesidad de una explicación física; el fenómeno de la excentricidad era simplemente “salvado” mediante la introducción de un epiciclo que hacía girar el centro de la órbita del planeta en torno al centro del Sol. Kepler reemplazó las ruedas ficticias por fuerza reales. La tarea que se le presentaba consistía –y la presentamos enormemente resumida- en definir la órbita de Marte. Eligió del tesoro de Tycho cuatro posiciones de este planeta observadas en las fechas cuando el planeta estaba en oposición al Sol. El problema geométrico que tenía que resolver era, por tanto, determinar la órbita de esas cuatro posiciones. Era un problema que no podía ser resuelto por un método matemático riguroso, sino sólo por aproximación, es decir, por una especie de procedimiento por tanteo que tenía que ser proseguido hasta que todas las piezas del rompecabezas encajaran aceptablemente. El increíble trabajo que esto representa puede calcularse por el hecho de que el borrador de los cálculos de Kepler (conservados en el manuscrito) ocupa novecientos folios escritos con letra pequeña. Al final de ese capítulo de la Nueva Astronomía, Kepler parece haber conseguido el triunfo. Como resultado de sus “más de setenta tanteos”, obtuvo para el radio de la órbita y para los puntos centrales, valores que daban, con un permisible error de menos de dos minutos, las posiciones correctas de Marte en las diez oposiciones registradas por Tycho. El invencible Marte parecía haber sido finalmente conquistado. Kepler proclamó su victoria con una inusitada modestia: “Verás ahora, diligente lector, que la hipótesis basada en este método no solamente satisface las cuatro posiciones en las cuales se 31 �La causalidad en la física: Johanes Kepler / José Luis Álvarez García basa, sino que también representa correctamente, dentro de un margen de dos minutos, todas las demás observaciones”.k Después siguen en su libro tres páginas de tablas para probar lo correcto de su afirmación; y luego, sin otra transición el siguiente capítulo empieza con estas palabras: “¿Quién hubiera pensado que fuese posible? Esta hipótesis, que tan exactamente concuerda con las oposiciones observadas, es sin embargo falsa…”l En los siguientes capítulos Kepler explica, con gran cuidado, cómo descubrió que la hipótesis era falsa y por qué debía ser rechazada. A fin de verificarla con una nueva prueba, seleccionó dos piezas especialmente raras del tesoro de observaciones de Tycho, ¡y no encajaban! Y cuando intentó ajustar su modelo a ellas fue aún peor: las posiciones observadas de Marte diferían de las que su teoría exigía en más de ocho minutos de arco. Era una catástrofe. Ptolomeo, incluso Copérnico, podían permitirse despreciar una diferencia de ocho minutos, debido a que sus observaciones eran exactas tan sólo con un margen de diez minutos. Y Kepler señala: “Pero nosotros, que por la divina bondad hemos dispuesto de un observador tan exacto como Tycho Brahe, estamos obligados a reconocer este divino don y utilizarlo… En consecuencia, voy a tener que seguir el camino hacia esa meta según mis propias ideas. Porque si creyera que podía ignorar esos ocho minutos, hubiera elaborado mi hipótesis de acuerdo con ello. Pero, puesto que no me resulta permisible ignorarlos, esos ocho minutos indican el camino hacia una completa reforma de la astronomía…”m Tal y como señala Koestler, era la rendición de una enorme voluntad de trabajo y de una mente genial ante los “irreductibles y obstinados hechos”. En una época anterior, si un detalle menor no encajaba con una hipótesis importante, se hacía un poco de trampa o se dejaba de lado; ahora esta indulgencia ya no era permitida. Se había iniciado una nueva era de austeridad y rigor en la historia del pensamiento. El momento crucial de este cambio se encuentra expresado de forma dramática en la obra de Kepler. En el Mysterium Cosmographicum se fuerzan los hechos para encajarlos en la teoría. En la Astronomia Nova, una teoría, edificada sobre años de labor y 32 tormento, es inmediatamente rechazada debido a una discrepancia de ocho miserables minutos. En vez de maldecirlos como una roca con la que se tropieza, Kepler los transformó en la piedra angular de una nueva ciencia. Amén de todas las causas de carácter general que formaban el telón de fondo de todos los cambios que estaban teniendo lugar en esta época, lo que convirtió a Kepler en el primer constructor de leyes de la naturaleza fue algo muy específico y fundamental: fue su introducción de la causalidad física en la geometría formal de los cielos lo que hizo que resultara imposible para él ignorar los ocho minutos de arco. Mientras que la cosmología estuvo regida por reglas puramente geométricas, independientemente de las causas físicas, las discrepancias entre teoría y hechos podían ser superadas insertando otra rueda dentro del sistema. En un Universo movido por fuerzas reales, eso ya no era posible. BIBLIOGRAFÍA 1. D. Bohm, Causalidad y azar en la física moderna, Dirección General de Publicaciones, UNAM, México (1959). 2. L. Zea, Introducción a la filosofía, Dirección General de Publicaciones, UNAM, México (1981). 3. Platón, Obras Selectas, Edimat Libros S. A., Madrid (2000). 4. A. Koestler, Kepler, Salvat Editores, Barcelona (1987). NOTAS a. Platón, Obras Selectas, La República, Libro Séptimo, pp. 291 y 292. b. A. Koestler, Kepler, p. 9. c. Ibid., p. 22. d. Ibid. e. Ibid., p. 23. f. Ibid.,, p. 25. g. Ibid., p. 26. h. Ibid., p. 27. i. Ibid., p. 33. j. Ibid., p. 79. k. Ibid., p. 85. l. Ibid. m. Ibid. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-trietilendiamina: Aplicación en la detección de clorofenoles Leonor M. Blanco Jerez, Leonardo Jiménez Medina División de Estudios Superiores, FCQ-UANL leonyjerez@gmail.com, jljm_korn@hotmail.com RESUMEN En este trabajo se realizó la modificación de un electrodo de carbón vítreo con el complejo Ni-trietilendiamina, empleando la técnica de voltamperometría cíclica bajo la influencia de ultrasonido (US). Se aplicó la técnica de cronocoulombimetría para determinar la capacidad del electrodo modificado para detectar el 2,4-diclorofenol en disolución acuosa. Los resultados muestran que el límite de detección del electrodo modificado es de 0.86 ppm para el 2,4DCF y de 50 ppm para el 4-CF. Para comparación se aplicó el tratamiento anódico Fenton asistido por US, para degradar el 2,4-diclorofenol y se cuantificó la degradación utilizando el electrodo químicamente modificado y la técnica de HPLC. Los análisis muestran que no hay diferencias significativas por ambas técnicas, por lo que es posible considerar la aplicación del electrodo químicamente modificado, reportado en este trabajo, como sustituto del detector de UV de un HPLC, para evaluar la degradación de clorofenoles en disoluciones acuosas. PALABRAS CLAVE Electrodos modificados, clorofenoles, voltamperometría cíclica, tratamiento anódico Fenton. ABSTRACT In this work a vitreous carbon electrode was modified by applying the Nitrietilendiamine complex using the cyclic voltammetry technique under the influence of ultrasound. This electrode was used to detect 2,4-diclorophenol and 4-chlorophenol using the chronocoulometry technique. Experimental results show that the detection limit of the modified electrode is 0,86 ppm for 2,4-diclorophenol, and 50 ppm for 4-chlorophenol. Also was used the Fenton anodic treatment assisted by ultrasound to degrade the 2,4-diclorophenol. The degradation percentage was determined by chronocoulometry using the modified electrode and also by HPLC, in order to compare the results of both techniques. From the experimental results it is concluded that the electrode developed in this project could be used as a sensor of clorophenols in aqueous dissolutions, replacing the UV detector used in HPLC. KEYWORDS Modified electrode, chlorophenol, cyclic voltammetry, anodic Fenton treatment. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 33 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la... / Leonor M. Blanco Jerez, et al. INTRODUCCIÓN Los compuestos fenólicos clorados tienen propiedades antimicrobianas, por lo que se les ha utilizado para preservación de la madera, pinturas, fibras vegetales, cuero, y como desinfectantes. Tienen aplicación, además, como herbicidas, fungicidas e insecticidas y como agentes intermediarios en la fabricación de productos farmacéuticos y tinturas, sin embargo, estos compuestos son considerados peligrosos debido a su elevada toxicidad y sus propiedades refractarias.1 Las aguas contaminadas por la actividad humana pueden, en general, ser procesadas eficientemente por plantas de tratamiento biológico, por adsorción con carbón activado u otros adsorbentes, o por tratamientos químicos convencionales (oxidación térmica, cloración, ozonización y permanganato de potasio, entre otros). Sin embargo, en algunos casos estos procedimientos resultan inadecuados para alcanzar el grado de pureza requerido por la ley. Las técnicas que se utilizan para el tratamiento de contaminantes fenólicos clorados incluyen los procesos de oxidación avanzada. Entre estas técnicas se encuentra el tratamiento anódico Fenton (AFT), el cual consiste en el uso de H2O2 con disoluciones de sales de hierro, principalmente Fe (II), y la aplicación simultánea de un campo eléctrico. Dicho tratamiento ha demostrado ser un método eficaz para la degradación anódica de contaminantes orgánicos poco biodegradables.2 Por otra parte, Gómez Pinto y col.,3 en una investigación realizada en el 2000, reportan los resultados sobre la degradación del fenol en el cual hacen una comparación entre dos diferentes técnicas: la electroquímica y la sonoelectroquímica. Sus resultados muestran que con la técnica electroquímica se alcanza un porcentaje de degradación del fenol del 22%, mientras que para la técnica sonoelectroquímica ésta fue de 71%. Blanco y col.,4 reportaron en el 2004 elevadas eficiencias de degradación del 2,4-diclorofenol por la vía sonoelectroquímica. La combinación de la técnica de ultrasonido con el proceso Fenton, ha sido reportada por Jih-Gaw Lin et al.;5 en este trabajo se reporta el incremento de la efectividad del reactivo de Fenton al combinarlo 34 con el ultrasonido, en el proceso de degradación del 2-clorofenol. En años recientes, se ha reportado el uso de electrodos químicamente modificados para sensar y electrocatalizar la degradación de estos compuestos orgánicos; algunos de los agentes modificadores son ftalocianinas, porfirinas y complejos de hierro, níquel y cobalto con macrociclos como ligantes.6-16 Un Electrodo Químicamente Modificado (EQM) se define como aquél que presenta un diseño intencional de la estructura molecular de su superficie, para mejorar su desempeño en la búsqueda de nuevas aplicaciones analíticas. Estas superficies modificadas pueden lograrse mediante la aplicación de varios métodos de inmovilización de modificadores, que pueden ser: a. Adsorción directa. b. Inmovilización covalente. c. Modificación de la matriz del electrodo. d. Inmovilización de polímeros. La modificación de electrodos por electropolimerización presenta una atractiva ventaja sobre cualquiera de las otras técnicas de preparación de electrodos modificados, dado que permite el seguimiento y control del proceso monitorizando los picos redox característicos de la película que se va formando y depositando. Manríquez J. y col.6 en el 2001, estudiaron compuestos de cobalto como la meso-tetrakis-(4-hidroxifenil)-porfirina y el complejo Co-Salen para sensar y degradar compuestos fenólicos clorados, sobre electrodos de carbón vítreo. En el caso de los compuestos clorados derivados del fenol (2-, 3- y 4-clorofenol) establecieron un intervalo de detección de 25-46 ppm para el 3-clorofenol y 25-67 ppm para el 2-clorofenol y el 4-clorofenol, respectivamente. El presente trabajo reporta la obtención de electrodos de carbón vítreo químicamente modificados con Ni-trietilendiamina y su aplicación a la detección de compuestos fenólicos clorados presentes en muestras acuosas pre-tratadas con el Tratamiento Anódico Fenton asistido por Ultrasonido (AFT-US). METODOLOGÍA La modificación de la superficie del electrodo se efectuó por medio de voltamperometría cíclica, con un Potenciostato BAS CV-50W; el proceso tuvo Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la... / Leonor M. Blanco Jerez, et al. lugar en una celda convencional de tres electrodos, con carbón vítreo de 7.069 mm2 de área como electrodo de trabajo, Ag, AgCl/Cl- como electrodo de referencia y un alambre de platino como electrodo auxiliar, todos de la marca BAS. La modificación química de la superficie se realizó en presencia de una onda ultrasónica empleando un Ultrasonido Fisher FS2OH de 44 kHz. Para encontrar las condiciones más apropiadas para la modificación del electrodo se aplicó un diseño de experimentos, las variables que se consideraron fueron número de ciclos y velocidad de barrido de potencial. Al final de cada modificación se realizó la comprobación de ésta, la cual consistió en realizar la voltamperometría cíclica bajo las mismas condiciones de modificación, pero en ausencia del agente modificante. Se obtuvo la curva de calibración para el 2,4diclorofenol (2,4-DCF) y 4-clorofenol (4-CF), utilizando el electrodo modificado como sensor, como electrodo de trabajo, Ag, AgCl/Cl- como electrodo de referencia y un alambre de platino como electrodo auxiliar. Para la determinación de la curva de calibración se aplicó la técnica de cronocoulometría, con un pulso de potencial de 600mV y tiempo de pulso de 250ms (para 2,4-DCF), y pulso de potencial de 870mV con tiempo de pulso de 250ms (para 4-CF), empleando como electrolito soporte el NaH2PO4, y un pH de 8.1 ajustado con NaOH 0.1M. La variable función de la concentración de cada clorofenol en la curva de calibración, fue la corriente de pico (ip) de oxidación correspondiente a los pulsos de potencial aplicados en cada caso. Para la aplicación del AFT-US, en la degradación de 2,4-DCF, se utilizó una celda dividida compuesta Potenciostato BAS CV-50W y generador ultrasónico Fisher FS2OH de 44 kHz utilizados para realizar la voltamperometría cíclica bajo influencia de ultrasonido. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 por un ánodo de platino, un cátodo de platino, y NaH2PO4 0.05 M, como electrolito soporte, H2O2 al 50%, FeSO4.7 H2O, y se ajustó a pH ≈ 3.3 con H 3PO 4. Se utilizó un diseño factorial, con las siguientes variables y niveles: densidad de corriente 10 y 20 mA/cm2, tiempo de tratamiento 60 y 120 min., y relación molar Fe2+: H2O2 1:5 y 1:25. La determinación de la concentración final se realizó utilizando dos técnicas de cuantificación; primero por la técnica de cronocoulombimetría antes mencionada y, segundo, por la técnica de HPLC, usando un cromatógrafo Varian 9012, con columna Spheri-5 ODS, no polar, 5 micras, 250 X 4.6 mm con detector UV Varian 9065. La cantidad de complejo inmovilizado sobre el electrodo se determinó por medio de una electrólisis exhaustiva y haciendo uso de las leyes de Faraday. RESULTADOS Se encontró que las condiciones más apropiadas para la modificación del electrodo fueron las siguientes: velocidad de barrido de 250 mV/s, 50 ciclos, manteniendo constantes la concentración del complejo modificante (0.35 mM Ni-trietilendiamina), la frecuencia del ultrasonido durante todo el tiempo de la modificación (44 kHz), pH de 13, y 0.1 M de NaOH como electrolito soporte. En la figura 1 se muestra el voltamperograma resultante de la modificación bajo estas condiciones. En la tabla I se presentan los valores de corriente de pico (ip), los potenciales de oxidación y reducción Fig. 1. Voltamperograma de modificación (250mV/s, 50 ciclos, pH=13 y 0.35mM Ni(en)32+). 35 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la... / Leonor M. Blanco Jerez, et al. Tabla I. Resultados de la modificación del electrodo y su comprobación a una velocidad de barrido de 250mV/s. Mod. 25 ciclos Comp. Mod. 50 ciclos Comp. Mod. 75 ciclos Comp. Ep Oxidación (mV) 410 509 527 517 475 532 Ip Oxidación (A) 2.1x10-4 2.1x10-4 4.5x10-4 4.0x10-4 3.8x10-4 3.7x10-4 Ep Reducción (mV) 303 329 251 291 342 307 Ip Reducción (A) -9.7x10-5 -9.4x10-5 -2.0x10-4 -2.7x10-4 -1.3x10-4 -1.1x10-4 107 180 276 226 133 225 0.47 0.44 0.458 0.67 0.327 0.28 Δ E (mV) Ipc/Ipa del sistema (Ep), para la velocidad de 250mV/s aplicada a diferentes ciclos. Además de los datos de modificación (Mod.), se presentan los de la comprobación (Comp.) de la modificación. En la figura 2 se presentan los resultados de la aplicación de la técnica de cronocoulometría para valorar la capacidad de detección del 2,4-DCF por el electrodo químicamente modificado. Con el valor de la carga correspondiente a la oxidación anódica del clorofenol, la cual es función de su concentración, se obtuvo una curva de calibración para el 2,4-DCF de 0 a 50 ppm, con Factor de Correlación de 0.9946 y un límite de detección de 0.86 ppm. De igual manera se procedió para el 4-CF; en este caso la concentración varió de 0 a 150 ppm, con Factor de Correlación de 0.9805 y un límite de detección no menor de 50 ppm; los resultados se presentan en la figura 3. Se aplicó el AFT-US a muestras ideales de 2,4DCF y se evaluó la concentración final del mismo utilizando dos vías para su cuantificación (tabla II); la primera empleando el electrodo modificado como sensor y la segunda por medio de la técnica de HPLC; los análisis efectuados permiten plantear que no existe diferencia significativa entre los resultados obtenidos por ambas técnicas. Se realizó una prueba de t para la comparación de medias de dos muestras, y así con esto poder concluir acerca de la similitud de los resultados. En la tabla III se presentan los resultados obtenidos con esta prueba. Fig.2. Cronocoulometría con el EQM como sensor del 2,4-DCF. Fig.3. Curva de Calibración para el 2,4-DCF y para el 4-CF. 36 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la... / Leonor M. Blanco Jerez, et al. Tabla II. Porcentaje de degradación del 2,4-DCF obtenido con el EQM y por HPLC. Experimento 2,4-DCF (ppm) EQM DSR % Degradación 2,4-DCF (ppm) HPLC DSR % Degradación 7 (j = 20, t = 1h, 1:25) 8.07 2.97 % 83.86 9.82 9.82 % 80.36 5 (j = 20, T = 1h, 1:5 ) 4.03 2.63% 91.94 5.11 5.11% 89.78 3 (j = 10, t = 1h,1:25 ) 3.42 0.62% 93.16 3.51 3.51% 92.98 4 (j = 10, t = 2h,1:25 ) 3.27 1.76% 93.46 3.27 2.36% 93.1 1 (j = 10, T = 1h, 1:5) 5.87 1.65% 88.26 5.48 2.10% 89.04 8 (j = 20, t = 2h, 1:25 ) 6.43 2.42% 87.14 7.08 2.63% 85.84 2 (j = 10, T = 2h,1:5 ) 5.16 1.89% 89.68 4.87 1.74% 90.26 6 (j = 20, T = 2h,1:5 ) 3.87 1.58% 92.26 4.14 3.56% 91.72 Los resultados muestran, comparando la t calculada (1.53248521) contra la t de la tabla o t crítica (1.89457751), que no existe diferencia significativa entre ambos valores con un 95% de confianza. Para poder determinar la cantidad de material inmovilizada sobre la superficie del electrodo, se realizó una electrólisis exhaustiva con el electrodo modificado como electrodo de trabajo y se supervisó durante el proceso, la corriente asociada a la oxidación del Ni(II) presente en el complejo inmovilizado en la superficie del electrodo de carbón Tabla III. Resultados de la prueba t para comparación de medias. Prueba t para medias de dos muestras emparejadas Variable 1 Variable 2 Media 5.41 5.015 Varianza 4.63228571 2.85108571 Observaciones 8 8 Coeficiente de Pearson 0.95646663 Grados de libertad 7 Estadístico t 1.53248521 P(T<=t) una cola 0.0846331 Valor crítico de t (una 1.89457751 cola) Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 vítreo, ver tabla IV. Los restantes electrodos de la celda electrolítica fueron los electrodos auxiliar y de referencia mencionados en la sección experimental. La electrólisis se detuvo hasta que la corriente detectada representó el 1% de la corriente inicial. En la figura 4 se presenta la curva cronoamperométrica resultante de dicha electrólisis. Con esta información y aplicando las leyes de Faraday es posible calcular la cantidad de materia depositada sobre el electrodo modificado. m =Qe donde: Q = I t, C e = Equivalente electroquímico = E/F, g/C E = Equivalente químico, g/mol F = Constante de Faraday, C/mol (Q) (PM) m= (#e) (F) Tabla IV. Resultados de la electrólisis exhaustiva. iinicial 9.44x10-7 A ifinal 1x10-8 A Relación en % de la Corriente 1.06% Tiempo 1228s Carga Total 2.22x10-5 C 37 �Electrodo de carbón vítreo modificado con Ni-tri-etilendiamina: Aplicación en la... / Leonor M. Blanco Jerez, et al. Se empleó el EQM para el sensado del 2,4-DCF presente en muestras pre-tratadas con el AFT. Se compararon las mediciones realizadas para el sensado del 2,4-DCF por el electrodo modificado con los obtenidos por la técnica de HPLC, y se encontró que no hay diferencia significativa entre los resultados obtenidos por ambas técnicas. Este resultado permite considerar la aplicación del EQM reportado en este trabajo como sustituto del detector de UV de un HPLC, para monitorizar la degradación de clorofenoles en disoluciones acuosas. Fig. 4. Electrólisis exhaustiva del Ni(II) inmovilizado en el electrodo de carbón vítreo modificado. (2.221 x 10 ) (334.76) (1) (96500) -5 m= m = 7.70x10 g -8 Conociendo la cantidad de materia depositada sobre la superficie del electrodo y el área del electrodo, es posible determinar la cantidad de moles de material inmovilizados por unidad de área del electrodo, Γ. Efectuando los cálculos correspondientes se obtiene para Γ un valor de 2.17 x 10-8 mol/cm2. Mediante este resultado es posible plantear que sobre la superficie del electrodo de carbón vítreo se inmovilizó un polímero del complejo adicionado como monómero en el electrolito, dado que, de acuerdo con la literatura, para el caso de inmovilización polimérica el recubrimiento se encuentra entre 10-6 y 10-10 mol/cm2. CONCLUSIONES Se modificó satisfactoriamente la superficie de un electrodo de carbón vítreo con Ni-trietilendiamina, y se encontraron las mejores condiciones de modificación dentro de los parámetros establecidos en el estudio. Se obtuvo un recubrimiento polimérico sobre la superficie del electrodo de carbón vítreo por la técnica de electropolimerización empleada. La superficie modificada detecta a los clorofenoles, 2-4DCF y 4-CF, con un límite de detección de 0.86 ppm y 50 ppm, respectivamente. 38 REFERENCIAS 1. Petrier, C., Jiang, Y., Lamy, M., Ultrasound and Environment: Sonochemical Destruction of Chloroaromatic Derivates, Environ. Sci. 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Oaxaca, Cenidet, Centro Nacional de Metrología, CIIDIR Oaxaca, Colegio de Ingenieros en Comunicaciones y Electrónica, Instituto Politécnico Nacional, Tecnológico de Veracruz, Universidad Autónoma de Nuevo León, Universidad de Guadalajara, Universidad de Guanajuato, Universidad de las Américas en Puebla, Universidad Latina de América, Universidad Tecnológica Vicente Pérez Rosales (Chile). SEDE: Centro de Convenciones del Hotel Real de Minas en León, Gto., México. Límite para entrega de trabajos en extenso: 15 de julio de 2006 INFORMACIÓN Coordinación General. M.Sc. Sergio Beristain: sberista@hotmail.com TEL. (52-55) 5682-2830, 5682-5525, FAX (52-55) 5523-4742 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 39 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey José Oscar Ávila Juárez joscaravila@aol.com RESUMEN El alto horno se convirtió en una de las instalaciones fundamentales para la fabricación de acero en Fundidora Monterrey. El Alto Horno 1 de la empresa impulsó su camino acerero durante las primeras tres décadas de funcionamiento; el Alto Horno 2 cubrió la producción en las décadas de los cuarenta y cincuenta; y el Alto Horno 3 se empleó para diversificar la producción de materiales de acero en el decenio de los sesenta. En 1986, la compañía tuvo que cerrar sus puertas y, con ello, tuvo que parar definitivamente los Altos Hornos. PALABRAS CLAVE Acero, arrabio, alto horno, Fundidora Monterrey. ABSTRACT The blast furnace was a key to iron and steel producing process at “Fundidora Monterrey”. Specially, Blast Furnace No. 1 was tremendously important during thirty years from its blasting in 1903 until the beginning of the 1940s when Blast Furnace No. 2 operation was started. Blast Furnace No. 2 became the main supplier of iron to steel making process along the 1950s. The Third Blast Furnace was built to increase steel production in the 1960s. In 1986, the company closed its doors. Consequently, all the blasts furnaces in “Fundidora” were stopped forever. KEYWORDS Steel, pig-iron, blast furnace, Fundidora Monterrey. INTRODUCCIÓN La fabricación de acero tuvo un largo camino para alcanzar los estándares que permitieron que esta aleación tuviera la durabilidad y flexibilidad necesaria para ser empleado en un ramillete de productos cotidianos. En este proceso para lograr su consolidación, la refinación del hierro en su etapa conocida como de primera fusión o arrabio jugó un papel de primer orden, ya que ésta se vio envuelta en un sinfín de experimentos realizados a lo largo de varios siglos, mismos que se dieron al parejo del desarrollo de cada nación en un tiempo y en un espacio determinado. La sustitución del carbón vegetal por el mineral en el siglo XVII permitió el avance de la siderurgia mundial, pero es hasta el siglo XIX cuando ésta entró en una etapa de expansión sin precedentes. Durante esa centuria, Henry Bessemer (1856), Frederick Siemens (1856), Pierre y Émile Martin (1863) y S.G. Thomas (1875), innovaron el proceso de aceración y gracias a su 40 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez propuesta tecnológica se pudo ampliar la capacidad de producción de acero y, con lo anterior, se cubrió la vertiginosa demanda de derivados siderúrgicos que estaba generando la industrialización de Europa y Estados Unidos, principalmente. Al mismo tiempo que se mejoraba el método de aceración, también se hicieron modificaciones en las demás fases de fabricación, tales como: alto horno, materia prima, laminación y acabado. LOS ALTOS HORNOS EN MÉXICO A lo largo del siglo XIX se fue perfeccionando el alto horno que, como su nombre lo indica, es un horno con la característica de ser elevado y de tener inyecciones de aire que sirven para mejorar la combustión del carbón que permite la reducción del hierro. Paulatinamente, los viejos hornos serían sustituidos por otros modernos con más capacidad en el crisol, más altura y mejor utilización de energía y combustible. Lo anterior redundaría en una mayor producción de arrabio y, por ende, en más materia prima para la siguiente fase del proceso de fabricación de acero, la aceración en sí. La llegada de la tecnología del alto horno a México se produjo en 1807 mediante la ferrería Guadalupe instalada por Andrés Manuel del Río en Coalcomán, Michoacán. Dicho establecimiento inició operaciones el 29 de abril1 con un horno de reverbero2 y un alto horno de grandes proporciones.3 Más adelante, conforme avanzaba el siglo, otras ferrerías emularon el camino inaugurado por la pionera Guadalupe, y de esta manera, a la par de la demanda y de la inversión de capitales, estas compañías sustituyeron sus instalaciones viejas, como el horno catalán, 4 por tecnologías más modernas como el alto horno. EL ALTO HORNO 1 DE LA FUNDIDORA DE FIERRO Y ACERO DE MONTERREY Al despuntar el siglo XX, las ferrerías serían relevadas por compañías siderúrgicas de mayor envergadura que iban surgiendo al ritmo del desarrollo económico e industrial que estaba experimentando el país. La más importante de ellas fue la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey,5 empresa que modificaría drásticamente la forma de fabricar acero en el territorio nacional. Dicha Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 acería fue constituida el 5 de mayo de 1900 en la ciudad de Monterrey, Nuevo León. Lo sobresaliente de su fundación es que fue erigida por un grupo de inversionistas nacionales e internacionales, quienes vislumbrando un extraordinario negocio aportaron un capital inicial de 10 millones de pesos (5 millones de dólares). El capital invertido sirvió para edificar una planta capaz de producir acero en grandes proporciones y de manera vertical, es decir, que partía de la explotación de la materia prima hasta la producción y venta del producto. Al iniciar operaciones en 1903, sus instalaciones albergaban a mil 500 trabajadores y se encontraban entre las más vanguardistas de la época, ya que utilizaban la tecnología siderúrgica que se estaba aplicando en Estados Unidos, país que estaba en pleno auge industrial. Aunque muchos de los equipos y la maquinaria de sus distintos departamentos ya habían sido empleados en acereras estadounidenses, estaban en perfectas condiciones para cubrir la demanda del mercado mexicano, incluso, eran capaces de generar una producción de 100 mil toneladas anuales de acero, cantidad muy elevada para las expectativas del incipiente mercado interno. Una de las instalaciones que moldearon a esta colosal empresa fue el Alto Horno 1. El equipo y la maquinaria que conformaron dicho horno fueron traídos en su gran mayoría de Estados Unidos. La instalación estaba diseñada para producir Alto Horno 1 de Fundidora Monterrey, a principios del siglo XX. 41 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez 350 toneladas de arrabio al día, tenía una altura de 32 metros y un diámetro de crisol de 3.6 metros. También contaba con cuatro estufas y 14 máquinas de vapor de 4 600 caballos de fuerza en conjunto para las sopladoras y para el convertidor de los hornos del departamento de aceración. Después de casi dos años de trabajos de edificación, el Alto Horno fue puesto en operación a principios de 1903. Para lo anterior fue necesario contar con suficiente materia prima para echar andar tan colosal instalación. El hierro para abastecer el horno procedió de las minas Piedra Imán y Golondrinas ubicadas dentro del estado de Nuevo León; el carbón mineral fue sustraído de las minas El Menor y Saltillito de la región carbonífera de Coahuila; y la piedra caliza se trajo de las montañas nuevoleonesas. Durante los primeros años de funcionamiento, la industria se vio afectada por la escasez de carbón, por lo tanto, los empresarios tuvieron que recurrir a la importación de este material. De igual manera, para mejorar el proceso de coquización se erigió una planta coquizadora de 60 hornos en los terrenos de la planta industrial.6 Sin embargo, el problema del coque se intensificó a tal grado que fue motivo de la paralización productiva de la empresa. El obstáculo fue resuelto gracias a las sugerencias de Adolfo Prieto, quien había llegado en 1907 a la sociedad como Consejero-Delegado. Prieto solicitó explotar eficientemente las minas del grupo y comprar carbón barato con proveedores nacionales e internacionales.7 Pedimento que se hizo al pie de la letra, y con lo anterior, mejoró sustancialmente la producción de la planta acerera. Por otro lado, cuando el Alto Horno 1 estaba en constante ascenso productivo, se presentó la Revolución Mexicana, coyuntura que afectó drásticamente la operación de la planta industrial, ya que obstaculizó la llegada de materia prima y la distribución de productos debido al desmantelamiento de la red ferroviaria nacional. Durante 1915, el horno no produjo ningún lingote de arrabio. Todo lo anterior se vería reflejado en la operación posterior del horno. Su antigüedad e inactividad fueron la causa principal para que en 1920 sólo produjera 15.4 mil toneladas de arrabio cuando en 1910 había producido 45 mil toneladas.8 Para incrementar su producción, el Horno Alto 1 fue sometido a diferentes programas de ensanche y mantenimiento. En 1919 se le colocó 42 un nuevo revestimiento; en 1921 fue sometido a una serie de reparaciones; y en 1923 fueron removidas las quebradoras de mineral y se le dotó de elevadores automáticos a las tolvas del horno.9 La recuperación económica del país al iniciar la década de los treinta provocó una demanda de derivados del acero, misma que obligó a los dirigentes Vista de las estufas del Alto Horno 1 de Fundidora Monterrey, principios del siglo XX. de Fundidora a poner en pleno funcionamiento las instalaciones, entre ellas, el Alto Horno. Sin embargo, su antigüedad, los varios momentos en que tuvo que parar a causa de la guerra civil, la escasa demanda en los periodos de crisis y los programas de mantenimiento, le rindieron factura y no pudo cumplir con las expectativas. Entre 1936 y 1937, la empresa tuvo que importar 40 mil toneladas de pedacería de acero de Estados Unidos por la deficiente producción de arrabio.10 Los problemas en el revestimiento y en las estufas del horno, provocaron nuevos quebrantos productivos. En 1938, la producción de arrabio fue de 306 toneladas diarias, en 1939 de 274 toneladas y en 1940 de 255.11 En vista de esas reducciones y a la imperiosa necesidad de más producción, los directivos de la acería regiomontana decidieron reconvertir y ampliar sus instalaciones. A finales del decenio de los treinta, los accionistas acudieron a la firma Brassert de Nueva York para que hiciera una evaluación general de la planta industrial. Del análisis se desprendieron las siguientes sugerencias para el Alto Horno 1, mismas que estuvieron englobadas en tres etapas: en la primera se pidió la eliminación de los finos o ciscos Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez del coque antes de la carga de gases y la limpieza de gases; en la segunda etapa se demandó la instalación de tolvas para el mineral de hierro y piedra caliza, un puente-grúa para el manejo del mineral, la instalación de una nueva estufa, la reparación de las otras tres, la dotación de quemadores modernos y equipo para controlar la combustión; y en la tercera se recomendó la instalación de otro Alto Horno.12 Esta última petición daría lugar a la incorporación del Alto Horno 2, horno que iniciaría una serie de escaladas productivas que proyectarían significativamente a Fundidora Monterrey. E L A LTO H O R N O 2 D E F U N D I D O R A MONTERREY La incesante demanda y el deplorable estado técnico que guardaba el Alto Horno 1, propiciaron que los dirigentes de la compañía apostaran por una nueva instalación productora de arrabio. Las negociaciones para acceder a los capitales para adquirir la unidad y los permisos de importación del equipo y la maquinaria de Estados Unidos, se dieron en un ambiente complicado por la incursión de ese país en la Segunda Guerra Mundial. Después de varios contratiempos, en diciembre de 1941 empezó la construcción del Alto Horno 2, tarea que rindió frutos en julio de 1943, fecha en que entró en operación el productor de arrabio. El horno se convirtió en la instalación más importante de los programas de ampliaciones y mejoras iniciados al despuntar la década de los cuarenta. La obra estaba compuesta por un horno propio, una caja de vaciados, inclinado, malacate y fosa de carga, equipo lavador de gas y aire, 3 estufas, carros-ollas para fierro y escoria, turbina sopladora, servicios de agua y drenaje, línea eléctrica, edificios, vías férreas, casetas de instrumentos de control y demás auxiliares. El horno tenía 4.75 metros de diámetro, 51.21 metros de altura y un volumen interior de 500 metros cúbicos. Estaba diseñado para producir 500 toneladas de arrabio diarias.13 Con su incorporación, Fundidora amplió su capacidad de producción de arrabio, de 300 que producía diariamente antes del Alto Horno 2 a 800 toneladas después de él. De igual manera sucedió con la capacidad anual, que pasó de 100 mil toneladas antes del horno a 200 mil toneladas después de él. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 A lo largo de las décadas de los cuarenta y cincuenta del siglo XX, la demanda de productos derivados de acero siguió al alza. Por lo que, también provocó un programa permanente de mantenimiento en los Altos Hornos de Fundidora. En 1950, el horno 2 fue remodelado para incrementar su producción de arrabio. Asimismo en 1952 a sugerencias de asesores siderúrgicos provenientes de la Arthur G. Mckee de Estados Unidos, los dos hornos fueron sometidos a un programa para mejorar el patio de carga y la circulación de los gases, reacondicionar las estufas y corregir algunos detalles de operación. Al año siguiente se hicieron trabajos para incrementar la temperatura del aire de las estufas, la conservación de los revestimientos de las mismas y la recuperación de gas (mínimo de impurezas) en las calderas. Durante 1953 también se hizo un revestimiento completo de las estufas y se instaló un segundo elevador de gases. En 1955, el Alto Horno 1 fue sometido a una reconversión general para elevar su capacidad instalada a 600 toneladas de arrabio diarias, y se le agregó un nuevo turbosoplador al Alto Horno 2. Las reparaciones continuaron, y en 1959, el 2 fue sometido a una reforma en su diámetro de hogar, al pasar de 4.72 metros a 5.8 metros con el objetivo concreto de aumentar su producción a 650 toneladas diarias de arrabio.14 Alto Horno 2 de Fundidora Monterrey, durante la década de 1960. 43 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez Los programas de reconversión y ampliación de los hornos para incrementar la producción de arrabio no fueron suficientes para satisfacer las necesidades de acero del mercado interno, por lo que los directivos de Fundidora Monterrey decidieron instalar otro Alto Horno, el 3. Con la integración del Alto Horno 3, Fundidora Monterrey alcanzó una producción de arrabio muy importante y la consecución de un millón de toneladas anuales de acero, cifra que la proyectó para convertirse en la acería privada más importante de México. EL ALTO HORNO 3 DE FUNDIDORA La incesante demanda, el apoyo gubernamental y los créditos internacionales, incidieron para que durante la segunda etapa de los planes oficiales denominados de “Modernización y Expansión”,15 se optara por edificar el Alto Horno 3. El horno diseñado por la firma Mckee, tenía un diámetro de hogar de 8.50 metros, una carga mecánica de operación automática y un soplador de 15,000 H.P. Además tenía una capacidad de producción de 1,500 a 2,000 toneladas de arrabio diarias. Dentro de sus características estaba la flexibilidad operativa y eficiencia especial, donde destacaba un programador electrónico de carga de materias primas y el sistema automático de cambio y control de combustión de las estufas. La nueva instalación que elevaría la producción de arrabio a 750 mil toneladas de arrabio, inició a montarse en octubre de 1965 y fue puesta en operación en enero de 1968. El establecimiento del Alto Horno 3 originó el cese del Alto Horno 1, que el 22 de diciembre de 1967 produjo sus últimas cargas de arrabio.16 L O S A LTO S H O R N O S D E F U N D I D O R A MONTERREY ENTRAN EN CRISIS Al entrar la década de los setenta, Fundidora enfrentó una crisis productiva muy importante. En los primeros días de enero de 1970 el bloqueo de las minas de Cerro de Mercado en Durango, detuvo la llegada de mineral de hierro a los altos hornos provocando una reducción de arrabio que inmediatamente impactó a los demás departamentos. A la carencia de materia prima se agregó la contracción del mercado interno. De esta manera, las instalaciones fueron sometidas a programas de rehabilitación en espera de mejores tiempos. Durante la implementación de la tercera etapa de los planes de Modernización y Expansión17 que tuvo como objetivo llegar a una capacidad instalada de 1.5 millones de toneladas de acero anuales, el Alto Horno 3 fue sometido a un plan de ampliación y modificación en el cual participó la Nippon Steel Corporation con tecnología siderúrgica de punta.18 El camino productivo de los hornos nuevamente fue interrumpido por una ola de huelgas que enfrentó Fundidora a consecuencia del estancamiento e inflación que atravesó el país a lo largo del decenio de los setenta. Sólo durante un breve periodo que corre de 1979 a 1981, la producción de arrabio se Alto Horno 3 de Fundidora Monterrey a punto de entrar en operación en 1967. 44 Esquema del Alto Horno 3.20 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez normalizó por la incesante demanda de la industria petrolera. Al presentarse la crisis económica de 1982, los Altos Hornos volvieron a paralizarse en largos periodos y fueron sometidos a reparaciones constantes. En 1983, el Alto Horno 3 fue sometido a una rehabilitación general, por lo que se contrataron dos mil hombres para los trabajos.19 A pesar de los esfuerzos por seguir contando con los hornos, el enorme déficit de atención técnica y de recursos que padecieron desde la década de los setenta, influyeron para su deterioro. El 10 de mayo de 1986, el gobierno cerró Fundidora Monterrey y, por ende, dejaron de operar esos grandes colosos productores de arrabio, materia prima indispensable para la fabricación de acero. CONSIDERACIONES FINALES A lo largo de 86 años, Fundidora albergó tres altos hornos, mismos que operaron al ritmo de las necesidades de la planta industrial. El Alto Horno 1 enfrentó las vicisitudes provocadas por la Revolución Mexicana y la Crisis de 1929, padeció las pautas en la producción y experimentó constantes reparaciones por su antigüedad; el Alto Horno 2 emergió a consecuencia de la demanda de productos siderúrgicos debido a la incursión de Estados Unidos en la Segunda Guerra Mundial; y el Alto Horno 3 padeció los momentos finales de la política sustitutiva de importaciones y los trastornos del capitalismo. Los tres hornos fueron unidades productivas de vital importancia para el funcionamiento de Acereras integradas en México en la década de los ochenta del siglo XX. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Fundidora Monterrey. Emergieron en diferentes espacios de tiempo, tuvieron sus obstáculos de instalación y operación y, en la medida de lo posible, sacaron adelante la producción de acero de Fundidora, que por más de 50 años fue la siderúrgica más importante del país, y por 86 años ocupó un lugar trascendente dentro del espacio acerero nacional. Alto Horno 3 de Fundidora Monterrey en plena operación en la década de 1980. NOTAS Y REFERENCIAS 1. Gerardo Sánchez Díaz. Andrés Manuel del Río y la ferrería de Coalcomán. Trabajo inédito, Morelia, 2005, p. 21. 2. El horno de reverbero es un horno cilíndrico vertical que sobresalía de los anteriores hornos porque no había un contacto directo entre el combustible y el mineral. T.K. Derry y Trevor Williams. Historia de la tecnología. Desde la antigüedad hasta 170. Volumen 1. México, Editorial Siglo Veintiuno Editores, 1994, p. 208. 3. José Alfredo Uribe Salas. Historia de la minería en Michoacán. Volumen I, Morelia, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, 2002, p.103. 4. Hornos antiquísimos de forma cilíndrica que requerían de fuelles para alentar el fuego y martillo para templar el hierro. 5. En adelante Fundidora Monterrey o Fundidora. 6. Aurora Gómez Galvarriato Freer. El primer impulso industrializador de México. El caso de Fundidora Monterrey. Tesis de licenciatura 45 �Los altos hornos de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey / José Oscar Ávila Juárez (inédita), México, Instituto Tecnológico Autónomo de México, 1990, p. 162. 7. José Oscar Ávila Juárez. “El empresariado que participó en la Formación de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey”, en Camilo Contreras Delgado y Moisés Gámez (Coordinadores), Procesos y espacios mineros. Fundición y minería en el centro y noreste de México durante el porfiriato. México, El Colegio de la Frontera Norte y Plaza y Valdés, 2004, p. 117. 8. Carlos Prieto. “La industria siderúrgica”. México 50 años de Revolución. I. La Economía. México, Fondo de Cultura Económica, 1960, p. 217. 9. Galvarriato Freer, Op. cit., pp. 109 y 110. 10. José Oscar Ávila Juárez. La industrialización y siderurgia: reconversión y expansión de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey, 19401970. Tesis de Licenciatura (inédita), San Nicolás de los Garza, Universidad Autónoma de Nuevo León, 1994, p. 58. 11. Archivo Histórico Fundidora Monterrey, Informe Anual de 1940, p. 2. 12. Ávila, La industrialización y siderurgia…, pp. 64-67. 46 13. Ibid., p. 71. 14. Ibid., pp. 133-135. 15. La primera etapa se llevó a cabo entre 1957 y 1960, sobresaliendo en la misma la incursión en la producción de planos y la diversificación de productos laminados; mientras que la segunda se verificó entre 1964 y 1967, teniendo como objetivo principal la ampliación de la capacidad instalada de los departamentos de Materias Primas, Aceración, Laminación y Hornos Altos. 16. Ávila, La industrialización y siderurgia…, p. 136. 17. Puesta en marcha entre 1973 y 1976. 18.José Oscar Ávila Juárez. El poder empresarial en la Industria Siderúrgica Nacional. Caso de la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey (1941-1977). Tesis de Maestría (inédita), El Colegio de Michoacán, Zamora, pp. 205 y 206. 19. El Porvenir, 24 de agosto de 1982, Sección B, p. 1. 20. Folleto La nueva Fundidora de Monterrey. México, Compañía Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey, 1968. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los vectores en la física Felipe A. Robledo Padilla, Mónica Menchaca Maciel, Rubén Morones Ibarra Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, UANL frobledo@fcfm.uanl.mx, monica.menchaca@uanl.mx, rmorones@fcfm.uanl.mx, RESUMEN Las leyes de la física están expresadas en forma matemática; uno de los requisitos fundamentales de estas expresiones es que tengan la misma forma para todos los observadores inerciales. Este requisito, conocido como invarianza de forma o covarianza, se satisface cuando las ecuaciones se escriben en forma tensorial. Los vectores son tensores de primer orden y por lo tanto una ecuación escrita en forma vectorial satisface el requisito de invarianza de forma. Como una aplicación en este trabajo se muestra cómo el uso de cuadrivectores en el espacio-tiempo, conduce a una evidente manifestación de la unificación de los campos eléctrico y magnético, mostrándolos como aspectos diferentes de una entidad única: el campo electromagnético. PALABRAS CLAVE Vector, simetría, covarianza, invarianza de forma, tensor. ABSTRACT Physical laws are written by using mathematical expressions; among the fundamental requirements for these expressions is that they have the same mathematical form for all inertial observers. This requirement, called form invariance or covariance, is fullfilled when the equations are written in tensor form. Vectors are tensors of first order, hence, a vector equation satisfies the form invariance requirement. As an application, it is also shown how, by using four-vectors in the spacetime, the electric and magnetic fields appear as different aspects of the unique entity: the electromagnetic field. KEYWORDS Vector, symmetry, covariance, form invariance, tensor. INTRODUCCIÓN Los vectores se introdujeron en la física como cantidades que se necesitan para representar ciertas variables físicas cuyas características no pueden ser expresadas mediante números reales, debido a que sus propiedades no se reflejan en el álgebra de los números reales. Como un ejemplo sencillo tenemos el problema de ubicar la posición final de un objeto que se desplaza en un plano una cierta distancia, digamos a 10 metros de un punto inicial. La posición final no queda determinada debido a que el objeto puede estar en cualquier punto Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 47 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. alrededor de un círculo de 10 metros de radio con centro en el punto inicial. Para que la posición final del objeto quede determinada necesitamos otra cantidad, aparte de la longitud del desplazamiento: la dirección. Estas dos magnitudes son necesarias para la determinación de la posición final del objeto y muestran la necesidad del empleo de los vectores. Si en este ejemplo agregamos la información de que, después del primer desplazamiento el objeto se mueve, digamos 15 metros más en otra dirección y queremos determinar la posición final, nos daremos cuenta de que requerimos para efectuar la suma, no la regla para sumar números reales sino la regla de suma de vectores. Muchas otras cantidades físicas derivadas de los segmentos dirigidos, como la velocidad y la aceleración se regirán por las reglas del álgebra vectorial. Cantidades físicas como la fuerza, el campo eléctrico, el magnético y muchas más caen en la categoría de los vectores. Sin embargo, el verdadero poder y la utilidad de los vectores no se circunscribe a su álgebra, la cual se requiere en el cálculo de cantidades físicas, sino en sus propiedades de transformación. Después de que Einstein estableciera en el primer postulado de la teoría de la relatividad especial que todas las leyes de la física tienen la misma forma matemática en todos los marcos de referencia inerciales, los vectores han jugado un papel fundamental en esta ciencia porque con ellos se puede garantizar el cumplimiento de este postulado.1 El concepto de vector como se usa en la física ya no está limitado a la idea de una flecha, de una cantidad con magnitud y dirección, sino que es un objeto matemático con ciertas propiedades de transformación que permiten asociarlo con conceptos más profundos y fundamentales de la naturaleza. El desarrollo moderno del concepto de vector y de la notación vectorial se debe al científico británico Oliver Heaviside y al físico norteamericano John W. Gibbs. Maxwell había escrito las ecuaciones del electromagnetismo en forma de componentes, lo que las hacía aparecer con una enorme abundancia de símbolos. En su formulación original, las ecuaciones del electromagnetismo eran veinte, conteniendo veinte variables. Posteriormente Maxwell intentó una reformulación matemática de sus ecuaciones que tampoco resultó ser sencilla. Veinte años 48 El científico británico Oliver Heaviside y el físico norteamericano John W. Gibbs desarrollaron el concepto de vector y de la notación vectorial. después de la formulación matemática original del electromagnetismo, Heaviside y Gibbs escribieron las ecuaciones en forma vectorial, obteniendo una simplificación notable. La elegancia y la belleza que adquirieron las ecuaciones de Maxwell fue tal que el físico alemán Ludwig Boltzmann, cuando terminó de leerlas exclamó: “¿fue un Dios quien escribió estos símbolos?”, en una franca alusión al placer que sintió el Fausto de Goethe cuando abre el libro donde se revelan los misterios del macrocosmos. La simplicidad y la belleza de estas cuatro ecuaciones de Maxwell, donde quedan sintetizados todos los fenómenos del electromagnetismo y de la luz, causaron gran admiración en el mundo científico. Sin embargo, la utilidad de la notación vectorial no se reduce solamente a que proporciona una forma compacta de escribir expresiones matemáticas. Subyace en la estructura de los vectores un aspecto conceptual que los hace muy poderosos desde el punto de vista de su utilidad en la física. El poder y alcance de los vectores se puso de manifiesto a principios del siglo XX, con el desarrollo de las ideas de Einstein sobre la invarianza de las leyes de la física. Existen varios principios en la física cuya importancia no se destaca en los tratados elementales. Aquí nos referiremos solamente a dos de ellos: la homogeneidad y la isotropía del espacio. Homogeneidad del espacio significa, en términos sencillos, que la descripción matemática de un sistema físico no debe depender del origen de coordenadas utilizado para la descripción. Similarmente, la isotropía significa que no hay direcciones privilegiadas en el espacio, o, equivalentemente, Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. Albert Einstein (1879-1955). Su trabajo impulsa la ciencia del siglo XX. Describe con éxito el efecto fotoeléctrico y explica el movimiento browniano con la naciente teoría cuántica. Desarrolla la Teoría de Relatividad. la orientación del sistema de coordenadas no debe reflejarse en las ecuaciones que describen un sistema físico. Estos dos principios o postulados, implícitos en toda teoría física, exigen que las ecuaciones que describen el comportamiento físico del sistema, deban ser invariantes ante traslaciones y rotaciones de las coordenadas. Cuando las ecuaciones se expresan en forma vectorial el requisito de isotropía del espacio se satisface automáticamente, como se verá más adelante. En cuanto al requisito de homogeneidad del espacio, se satisface cuando los términos en las ecuaciones contienen derivadas respecto al tiempo o factores que dependen solo de la distancia entre dos puntos. INVARIANZA DE LAS LEYES DE LA FÍSICA Lo primero que se desea asegurar en la formulación de una teoría física es que las leyes que aparecen en la teoría sean las mismas para todos los observadores. Sin embargo, para establecer bien este principio, conocido como “Principio de Invariancia”, necesitamos especificar de qué tipo de observadores estamos hablando. Nosotros nos concretaremos aquí a considerar los observadores inerciales, es decir, los observadores para los cuales tiene validez la primera ley de Newton, esto es, la ley de la inercia. Todas las demás teorías físicas, excepto la teoría general de la relatividad, son construidas en marcos de referencia inerciales, que es donde se ubican los observadores inerciales.2 En un marco de referencia no inercial Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 tendríamos que incluir las fuerzas ficticias, las cuales son fuerzas no atribuibles a sistemas físicos sino a la misma elección del marco de referencia.3 La herramienta matemática que permite garantizar la invarianza de forma de las leyes de la física es el análisis vectorial (en realidad la rama de las matemáticas que trata este tema en forma más general se conoce como análisis tensorial). Un vector se define en términos de sus propiedades de transformación. El vector de posición es el prototipo de vector y lo usaremos para introducir este concepto.4 Primeramente, dada la hipótesis de la isotropía del espacio, debemos garantizar que las rotaciones no modifican la forma de las ecuaciones de la física. Para esto introducimos la definición de vector a través de sus propiedades de transformación ante rotaciones de coordenadas. ROTACIÓN DE COORDENADAS (COORDENADAS CARTESIANAS) Consideremos un sistema de coordenadas con una base ortonormal5 {eˆi }; tenemos entonces que eˆi ieˆ j = δ ij , donde: ⎧ ⎪ 0 si i ≠ j δij = ⎪ ⎨ ⎪ 1 si i = j ⎪ ⎩ es la delta de Kronecker. Sean (x1, x 2 , x 3 ) las coordenadas de un punto en el marco de referencia original y (x1' , x 2' , x 3' ) las coordenadas del mismo punto en un marco de referencia rotado. Las transformaciones de coordenadas que preservan la distancia, se conocen como transformaciones ortogonales, las cuales son casos particulares de transformaciones rígidas. Un punto en el espacio determina el vector de posición r = (x1 , x2 , x3 ). En este sistema de coordenadas este punto se puede representar o escribir como r = ∑ xi eˆi i con eˆ1 = (1, 0, 0) , eˆ2 = (0,1, 0) y eˆ3 = (0, 0,1) Por otra parte, en un marco de referencia rotado respecto al primero, ver diagrama, y con una base {} ortonormal eˆi' , este mismo punto se expresa como r ' = ∑ xi' eˆi' . i 49 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. ⎛ ∑∑ ⎜⎝ ∑ λ λ ij j l il i ⎞ 2 ⎟⎠ x j xl = ∑ xi i Para que se satisfaga la ecuación (3) se debe cumplir que ∑λ λ il ij = δ jl (4) i ∑∑ δ j jl l x j xl = ∑ xi 2 i ∑ x x =∑ x j j i j El punto no cambia, lo que cambian son las coordenadas de este punto expresadas en diferentes marcos de referencia, por lo tanto: r = r ' ∑ x ' eˆ ' = ∑ x eˆ i i j i (1) j j Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por la izquierda por eˆ 'k , obtenemos, ∑ x 'i eˆ 'k ieˆ 'i = ∑ x j eˆ 'k ieˆ j i j Es decir, ∑ x' δ i ki i = ∑ λ kj x j j Lo cual equivale a x 'k = ∑ λ kj x j (2) j donde λ = (λ kj ) = (eˆ 'k ieˆ j ) es la matriz formada por los cosenos directores de los vectores coordenados unitarios del sistema primado, en el marco de referencia no primado. La condición que se impone sobre la rotación es que se preserve la norma del vector de posición, es decir, r ' = r o bien r ´2 = r 2 . El tipo de transformaciones que satisfacen esta condición como ya se mencionó se denominan “Transformaciones Ortogonales”.6 (3) r '2 = ∑ x ' 2 = r 2 = ∑ x 2 i i i i 2 ⎛ ⎞ ∑ ⎜⎝ ∑ λij x j ⎟⎠ = ∑ xi 2 i j i ∑∑λ x ∑λ ij i j j l il xl = ∑ xi 2 i ⎛ ⎞ ∑ ⎜⎝ ∑ ∑ λij λil x j xl ⎟⎠ = ∑ xi 2 j i l i 50 ∑x 2 i 2 j j = ∑ xi 2 i La ecuación (4) se puede escribir como, ∑λ T li λij = δ jl (5) i y la ecuación (5) se escribe en forma matricial como λT λ = I (6) La ecuación (6) es la condición que deben satisfacer las matrices de transformación para que dejen invariante la distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio. Una matriz λ que satisface la ecuación (6) se dice que es una matriz ortogonal. Por extensión, definimos un vector cartesiano A como un conjunto de tres componentes A = (A1,A2,A3 ) que se transforman ante una rotación de coordenadas descrita por la matriz ortogonal (λij ) , en A' = (A'1,A'2,A'3 ) de la misma manera que las coordenadas de un punto, es decir, mediante la relación. Ai' = Σ λij Aj j (7) donde Ai' y Ai representan las componentes del vector A en el sistema rotado y en el original, respectivamente. Con los resultados anteriores podemos probar que cualquier ecuación expresada en forma vectorial es invariante de forma ante rotaciones. Consideremos la ecuación vectorial expresada en el marco de referencia O, como α A = βB +γC (8) Donde A, B y C son vectores, como lo indican Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. Isacc Newton (1642-1727). Desarrolló el cálculo diferencial e integral y formuló las leyes de la mecánica y de la gravitación. Su principal obra, Philosophiae naturales principia mathematica, establece las bases donde se apoya la ciencia actual. las flechas sobrepuestas, y α, β y γ son escalares (números) que no cambian en la transformación de coordenadas. Usando la notación de componentes, en el marco de referencia rotado, O’, la forma de esta ecuación la podemos obtener multiplicando (8) por (λij ) y sumando sobre j , obtenemos, α ∑ λij Aj =β ∑ λij B j + γ ∑ λij C j j j j La cual, de acuerdo con la regla de transformación dada por (7), se puede escribir como, α Ai ' = β Bi '+ γ Ci ' (9) Como podemos ver, la forma matemática de las ecuaciones (8) y (9) es la misma, lo que significa que cada observador, en su marco de referencia con diferente orientación, podrá usar la forma vectorial de las ecuaciones con la garantía de que son las mismas para los demás observadores. Este es el concepto de covarianza de las ecuaciones ante rotaciones de coordenadas. Un ejemplo de una ecuación que no fuera invariante de forma ante rotaciones, sería aquella en la que apareciera, por ejemplo, un término escalar y uno vectorial. Se puede probar que el producto “punto” entre dos vectores A = (A1,A2,A3 ) y B = (B1,B2,B3 ) , 3 Ai Bi definido como AiB = ∑ es un escalar, esto es, i =1 una cantidad que no cambia de forma ante rotaciones. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Una ecuación como A ⋅ B + C = D , donde D es un vector, no puede representar una ley de la naturaleza, ya que A ⋅ B es un escalar mientras que C y D son vectores. En el momento de efectuar una rotación de coordenadas, la ecuación cambiaría de forma, ya que A ⋅ B no cambia de forma, mientras que los vectores C y D se transformarán de acuerdo con la ecuación (7). Toda ecuación de la física debe escribirse en forma vectorial o de una manera tal que todos sus términos se trasforman de la misma manera, covariantemente. Esto garantiza la invarianza de forma o covarianza, de las ecuaciones. En particular, en el caso de la mecánica Newtoniana, la ley fundamental que describe el movimiento de una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F , es la segunda ley de Newton, expresada matemáticamente como F = ma Siendo la masa m un invariante absoluto. La invarianza de esta ecuación ante rotaciones queda garantizada por el resultado general, discutido anteriormente, para una ecuación vectorial. La forma matemática de la segunda ley de Newton también nos asegura que la homogeneidad del espacio se satisface, ya que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición respecto al tiempo. En cuanto a la homogeneidad del tiempo, esta queda garantizada en la mecánica Newtoniana debido a la hipótesis de que el tiempo es absoluto, es decir, es el mismo para todos los observadores. Respecto al electromagnetismo, cuya descripción se hace a través de las ecuaciones de Maxwell, la forma vectorial de estas ecuaciones nos garantiza su invarianza de forma ante rotaciones. Este es el aspecto esencial del uso de los vectores en la física. Las transformaciones dadas por (7), garantizan el postulado de la isotropía del espacio. Sin embargo, existe otro tipo de transformaciones que involucran al tiempo y que conectan los marcos de referencia inerciales. En estos marcos de referencia las transformaciones de Galileo nos garantizan que las ecuaciones de la mecánica son las mismas para todos los observadores inerciales.7 En este caso, la forma vectorial de las ecuaciones es también de mucha utilidad. 51 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. Galileo Galilei (1564-1642). Astrónomo y matemático que estudió la caída de los cuerpos, el movimiento relativo sentando las bases para el desarrollo de la mecánica. Sin embargo, con el electromagnetismo ocurre algo diferente a lo que sucede con la mecánica; el electromagnetismo no es invariante ante transformaciones de Galileo. Para satisfacer el requisito de que todas las leyes de la física sean las mismas para todos los observadores inerciales, se requirió modificar la mecánica y la introducción de un nuevo tipo de transformación para relacionar las observaciones entre diferentes marcos de referencia inerciales. Las nuevas transformaciones se conocen como “Transformaciones de Lorentz”. La mecánica relativista es construida a partir de cuadrivectores, llamados vectores de Lorentz, los cuales son definidos bajo el requisito de que la velocidad de la luz en el vacío permanezca constante y que las ecuaciones de transformación, las transformaciones de Lorentz, dejen invariante la longitud del intervalo ds, definido en un nuevo espacio de cuatro dimensiones, el espacio-tiempo o espacio de Minkowski. El elemento de longitud en el espacio de Minkowski se define como:8 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ COMO ROTACIONES EN EL ESPACIO-TIEMPO En la relatividad especial, el tiempo y el espacio pertenecen a la misma categoría de objetos, juegan papeles equivalentes. Por esta razón debemos ampliar el espacio matemático en el que elaboramos las leyes de la física a un espacio de cuatro dimensiones. La idea de un espacio matemático abstracto, el espacio-tiempo, no es de Einstein, sino del físicomatemático alemán H. Minkowski quien introdujo en 1908 la manera de medir distancias en este espacio, mediante la generalización de la métrica euclidiana, al introducir una coordenada temporal imaginaria: x 4 = ict . Un punto en el espaciotiempo se representa mediante las coordenadas (x1, x 2 , x 3 , x 4 ) . La cuarta componente en el espacio de Minkowski es ict , donde la unidad imaginaria i se introduce como factor para obtener la métrica de Minkowski dada en la ecuación (10) la cual garantiza la invarianza de la velocidad de la luz en el vacío ante las transformaciones de coordenadas. El factor c , que es la velocidad de la luz, proporciona a la componente x 4 las dimensiones de longitud, en concordancia con las dimensiones de longitud de las otras tres componentes. De acuerdo con Minkowski, no solo el tiempo y el espacio deben considerarse como diferentes componentes del espacio cuadridimensional que él E propone, también el trimomentum p y la cantidad c , donde E es la energía y c la velocidad de la luz, forman un cuadrivector en este espacio abstracto. La generalización de estas ideas a otras cantidades físicas es también posible. Con esta construcción se logra la formulación covariante de la mecánica relativista y también del electromagnetismo. Toda teoría física ds 2 = ( dx )2 + ( dy )2 + ( dz )2 − ( cdt )2 (10) Las transformaciones de Lorentz pueden ser interpretadas como rotaciones en el espacio-tiempo de Minkowski. Con las leyes de la física, expresadas en forma vectorial o tensorial, como tensores de Lorentz, garantizamos que estas son invariantes de forma cuando hacemos la transformación entre observadores inerciales, lo cual satisface el primer postulado de la Teoría Especial de la Relatividad. 52 Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Su contribución a la física fue fundamental para el desarrollo de la Teoría de la Relatividad. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. o modelo nuevo que pretenda ser consistente con la teoría de la relatividad es formulada en este espacio cuadridimensional. La generalización de la definición de la distancia en el espacio cuadridimensional se realiza en forma natural, simplemente definiendo la distancia s del punto (x1, x 2 , x 3 , x 4 ) al origen (0, 0, 0, 0) como 4 s 2 = Σ xi2 (11) i =1 Tenemos entonces que el elemento de longitud ds entre dos puntos (x1, x 2 , x 3 , x 4 ) y (x '1, x '2 , x '3 , x '4 ) , muy próximos entre sí, está dada por ds 2 = ( dx1 )2 + ( dx 2 )2 + ( dx 3 )2 + ( dx 4 )2 lo cual corresponde, en una notación ligeramente diferente, a la ecuación (10). Con esta notación, la extensión de las ideas ya establecidas sobre rotaciones de coordenadas en el espacio tridimensional a rotaciones en el espacio-tiempo se obtienen de la misma manera que en las ecuaciones (1)-(4). Las transformaciones de Lorentz que son las transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones relativistas, resultan ser rotaciones en el espaciotiempo. Estas rotaciones en cuatro dimensiones se pueden separar en traslaciones con velocidad constante en las tres direcciones de los ejes espaciales más las rotaciones en el espacio, del tipo que ya hemos mencionado en otra sección de este artículo. Un caso particular de transformaciones de Lorentz está dado por las transformaciones que conectan las mediciones de dos observadores en marcos de referencia inerciales O y O’, donde O’ se mueve con velocidad constante v en la dirección +x respecto al marco de referencia O.9 En este caso particular las transformaciones de Lorentz toman la siguiente forma: LA UNIFICACIÓN DE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO Aún cuando las ecuaciones de Maxwell muestran la unidad de los campos eléctrico y magnético, el estudio de estos fenómenos en el espacio tridimensional no muestra el aspecto fundamental de la unificación, la cual sólo se observa cuando analizamos los fenómenos en el espacio-tiempo. En este espacio de cuatro dimensiones se manifiesta de manera clara la estructura de la teoría electromagnética, poniendo en evidencia que la electricidad y el magnetismo son sólo aspectos diferentes de los fenómenos producidos por las cargas eléctricas y que el hecho de que se manifieste uno, el otro o los dos, depende solamente del observador. Estudiando los fenómenos en el espacio-tiempo se logra observar también que el magnetismo es de hecho un efecto relativista. Esto significa que el magnetismo puede obtenerse como resultado de exigir que se cumpla el segundo postulado de la relatividad especial, es decir, la invariancia de las leyes de la física ante transformaciones de Lorentz. Consideremos dos marcos de referencia inerciales, moviéndose el sistema primado en la dirección +x con velocidad v . Consideremos ahora la ecuación de Maxwell10 1 ∂B ∇×E =− c ∂t Consideremos la componente en y de esta ecuación: ∂E ∂E 1 ∂By (13) (∇ × E)y = x − z = − ∂z ∂x c ∂t Apliquemos ahora la transformación de Lorentz dadas por las ecuaciones (12) x'= γ(x − vt) y'= y z'= z (12) ⎛ v ⎞ t'= γ ⎜ t − 2 x ⎟ ⎝ c ⎠ v2 donde γ = 1 − c2 . Usaremos estas transformaciones para describir, en el siguiente punto, la relación entre las observaciones de un fenómeno electromagnético hechas por dos observadores inerciales. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 James Clerk Maxwell (1831-1879). Desarrolló las ecuaciones que describen los fenómenos eléctricos y magnéticos sintetizando los trabajos de Ampere y Faraday en la teoría electromagnética. 53 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. ∂E x ∂E x ∂x' ∂E x ∂y' ∂E x ∂z' ∂E x ∂t' = + + + ∂z ∂x' ∂z ∂y' ∂z ∂z' ∂z ∂t' ∂z ∂ Ex ∂ Ex ∂ Ex ∂ Ex ∂ Ex (0) + (0) + (1) + (0) = ∂x ' ∂y ' ∂z ' ∂t ' ∂z ' ∂E x ∂E x = ∂z ∂z' Obtengamos ahora ∂E z por lo tanto (14) ∂x ∂E z ∂E z ∂x' ∂E z ∂y' ∂E z ∂z' ∂E z ∂t' = + + + ∂x ∂x' ∂x ∂y' ∂x ∂z' ∂x ∂t' ∂x = v ∂ Ez ∂ Ez ∂ Ez ∂ Ez (γ ) + (0) + (0) + (− 2 γ ) ∂x ' ∂y ' ∂z ' ∂t ' c por lo tanto ⎛ ∂E ∂E z v ∂E ⎞ = γ⎜ z − 2 z ⎟ ⎝ ∂x' c ∂t' ⎠ ∂x (15) Por otra parte, ∂By ∂t = ∂By ∂t' ∂By ∂x' ∂By ∂y' ∂By ∂z' + + + ∂t' ∂t ∂x' ∂t ∂y' ∂t ∂z' ∂t Nuevamente, de las trasformaciones de Lorentz dadas por (12) ∂B ∂By ∂By γ + y (−vγ) = ∂t ∂t' ∂x' ⎛ ∂B ∂By ∂B ⎞ = γ⎜ y − v y ⎟ ∂t ∂x' ⎠ ⎝ ∂t' (16) Sustituyendo las ecuaciones (14), (15) y (16) en la ecuación (13), obtenemos ⎛ ∂E ∂B ⎞ ∂E x v ∂E ⎞ 1 ⎛ ∂B − γ⎜ z − 2 z ⎟ = − γ⎜ y − v y ⎟ ∂z' ⎝ ∂x' c ∂t' ⎠ ∂x' ⎠ c ⎝ ∂t' Agrupando términos, obtenemos: ∂E v ∂B ∂E x 1 ∂B v ∂E −γ z − γ y =− γ y − 2 γ z ∂z' ∂x' c ∂x' c ∂t' c ∂t' ∂ Ex ∂ ⎡ v 1 ∂ ⎡ v − γ Ez + By ⎤⎥ = − γ By + Ez ⎤⎥ ∂z ' ∂ x ' ⎢⎣ c ⎦ c ∂t ' ⎢⎣ c ⎦ ) ( ) (17) Puesto que esta ecuación fue obtenida transformando solamente las coordenadas espacio temporales y no los campos, podemos encontrar cómo deben transformarse éstos para que se cumpla la invarianza de forma de la ecuación (13) frente a las transformaciones de Lorentez dadas por (12). El requisito es que la ecuación (13) debe tener la forma que se indica en la ecuación (18) en el marco de referencia transformado, ∂E x' ∂E z' 1 ∂By' − =− ∂z' ∂x' c ∂t' 54 E x' = E x ⎛ v ⎞ By' = γ ⎜ By + E z ⎟ ⎝ c ⎠ continuando con un tratamiento semejante para los demás términos, y haciendo lo propio para las demás ecuaciones de Maxwell, obtenemos que la transformación de los campos está dada por las siguientes expresiones: ⎛ v ⎞ E y' = γ ⎜ E y − Bz ⎟ ⎝ c ⎠ ⎛ v ⎞ E z' = γ ⎜ E z + By ⎟ ⎝ c ⎠ E x' = E x Bx' = Bx ⎛ v ⎞ By' = γ ⎜ By + E z ⎟ ⎝ c ⎠ es decir ( Comparando las ecuaciones (17) y (18), obtenemos que para que se satisfaga la invarianza de forma, deberemos identificar los términos correspondientes, con lo cual se obtiene que: ⎛ v ⎞ E z' = γ ⎜ E z + By ⎟ ⎝ c ⎠ (18) (19) ⎛ v ⎞ Bz' = γ ⎜ Bz − E z ⎟ ⎝ c ⎠ Debido a que hemos tomado el movimiento relativo del marco de referencia en la dirección +x, observamos lo siguiente: E' = E y B' = B ⎛ ⎛ v × E⎞ v × B⎞ ; ⎟ E'⊥ = γ ⎜ E ⊥ + ⎟ B'⊥ = γ ⎜ B ⊥ − ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ En esta notación E y B , indican las componentes paralelas al eje x de los campos eléctrico y magnético, respectivamente. Similarmente E⊥ y B⊥ indican las componentes perpendiculares a la dirección x . Una vez que hemos obtenido las ecuaciones de transformación entre los campos podemos plantear el siguiente problema. Consideremos una carga eléctrica en reposo en el marco O. Esto significa que sólo tendremos la presencia de un campo eléctrico observado por O. Consideremos ahora un observador en O’ que se mueve con velocidad v en la dirección +x. De acuerdo con las reglas de transformación de los campos, encontramos que el observador O’ también detecta la existencia de un campo magnético. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Los vectores en la física / Felipe A. Robledo Padilla, et al. Las componentes de este campo se obtienen de las ecuaciones (19); Con E = (Ex , Ey , Ez ) y B = 0 en el marco de referencia O, obtenemos que Ey ' = γ Ey Ez ' = γEz E x' = E x Bx ' = Bx = 0 v By ' = γ Ez c v Bz ' = γ − Ez c ( ) ( ) Este resultado muestra que la presencia del campo magnético en el marco de referencia O’ es consecuencia de la invarianza relativista.11 Fenómenos que son de naturaleza puramente eléctrica solo lo son en un marco de referencia particular; en general el fenómeno es electromagnético. Los campos eléctricos y magnéticos no son independientes, por el contrario, están ligados estrechamente y la relación entre ellos depende del marco de referencia seleccionado.12 La consistencia entre este desarrollo teórico y lo observado experimentalmente, muestra la utilidad de los conceptos de invarianza y de los vectores como el instrumento matemático para implementarla. COMENTARIO FINAL En el desarrollo de este trabajo se ha puesto de manifiesto que el uso de vectores, definidos como objetos matemáticos que satisfacen ciertas propiedades de transformación, nos garantiza que la forma matemática de las ecuaciones que representan leyes de la naturaleza, no cambiará durante las transformaciones. El significado físico atribuido a una transformación es que ésta es equivalente a cambiar de observador. Que la ecuación sea invariante de forma significará que ambos observadores llegan a las mismas conclusiones físicas sobre el comportamiento del sistema observado. Para elaborar un modelo matemático que represente una ley de la naturaleza, se debe recurrir a una estructura matemática que garantice el cumplimiento de ciertas simetrías que suponemos válidas para el espacio y el tiempo. Entre las simetrías fundamentales están las de homogeneidad del tiempo y la homogeneidad e isotropía del espacio. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 La estructura matemática que garantiza esto es el análisis tensorial, donde los vectores son casos particulares de los tensores. Cuando escribimos una ley de la naturaleza en forma matemática, todos los términos de la expresión deben ser de la misma naturaleza tensorial, lo cual garantiza la invarianza de la ecuación ante las transformaciones que exige la simetría. Este hecho nos libera de la preocupación de que otros observadores obtengan formas matemáticas diferentes para las leyes de la física. Cuando escribimos una ecuación en forma vectorial, estamos seguros que su forma matemática no cambiará cuando realizamos ciertas transformaciones en las coordenadas. Estas transformaciones son las que nosotros, de antemano, hemos impuesto guiados por la simetrías que suponemos deben satisfacerse en la naturaleza. Así mismo, la aplicación del concepto de vector en el espacio-tiempo nos permite lograr una comprensión más profunda de los fenómenos electromagnéticos. REFERENCIAS 1. Sokolnikoff, I. S., Análisis tensorial, Limusa, 1976. 2. W. S. C. Williams, Introducing Special Relativity, Ed. Taylor and Francis, 2002. 3. Wolfang Rindler, Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, 1982. 4. Wrede, R. C. Introduction to vector and tensor analysis, John Wiley and Sons, 1963. 5. Butkov, E. Mathematical Physics, AddisonWesley, 1980. 6. Lebedev, L. P. and Cloud, M. J., Tensor Analysis, World Scientific, 2003. 7. Morones, J. R., Ingenierías Julio-Sept. 2006, Vol. 9. No. 32, P. 25. 8. Mohammad Saleem and Muhammad Rafique, Special Relativity, Ed. Ellis Horwood, 1992. 9. W. S. C. Williams, Introducing Special Relativity, Ed. Taylor and Francis, 2002. 10. Eyges, L., The Classical Electromagnetic Field, Dover, 1980. 11. Ohanian, H. C., Classical Electrodynamics, Allyn and Bacon, Inc., 1988. 12. Barut, A. O., Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Dover, 1980. 55 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético Jimmy Loaiza Navía, Jorge Bernal Pérez, Manuel F. Carlín jimmy.loaiza@sadm.gob.mx, jorge.bernal@sadm.gob.mx RESUMEN El sistema de aeración de la planta bajo estudio fue cambiado de oxígeno puro a burbuja fina, lo que implica que el volumen del reactor haya quedado corto, en el límite del proceso convencional y el de alta tasa. La literatura menciona que para lograr una nitrificación plena se requiere una edad de lodo mayor que el proceso de remoción de la fracción carbonácea, por lo que el reto consistía en lograr la nitrificación con baja edad de lodo y bajo tiempo de retención. En un primer intento el sistema de burbuja fina quedó corto, por lo que fue necesario rediseñarlo vía simulación en estado estacionario con ayuda del programa GPSX. Los resultados obtenidos han superado las expectativas, destacando además una disminución en el consumo de energía. PALABRAS CLAVE Lodos activados, requerimiento de oxígeno, burbuja fina, nitrificación. ABSTRACT The aeration system of the WWTP under study was changed from pure oxygen to fine bubble, which implies that the volume of the reactor has remained short, in the limit between the conventional process and the high rate one. The literature mentions that to achieve a full nitrification, the sludge time must be longer than the time dedicated to the carbonaceous fraction removal process. The challenge was consisting of achieving the nitrification with low sludge age and low detention time. In its first try the fine bubble system remained very limited, for what it was necessary re-design via simulation in steady state with GPS-X program. The obtained results have overcome the expectations, emphasizing besides a decrease in the consumption of energy. KEYWORDS Activated sludge, Oxygen requirement, Fine bubble, Nitrification. INTRODUCCIÓN La remoción biológica del carbono y del nitrógeno describe el proceso de lodos activados, en el cual el substrato contenido en el agua residual entra en contacto con una población de microorganismos heterótrofos, que retornan al reactor desde el fondo del clarificador. Al líquido del reactor se le refiere como “licor mezclado”, mismo que debe ser mantenido en suspensión. Las condiciones 56 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. aeróbicas se alcanzan mediante la difusión de aire de fondo de burbuja fina ú otros sistemas como turbinas de aeración superficial, así como con oxígeno gaseoso puro. En el proceso la materia orgánica se transforma en biomasa activa y CO 2. El licor mezclado, (microorganismos que han crecido, los que han sido reproducidos y hasta los que han completado su ciclo de vida), serán capaces para agruparse formando flóculos biológicos, con características adecuadas de sedimentación y deberán pasar al clarificador donde tendrá lugar la separación por gravedad. En el fondo, se concentra la fase sólida (lodo) para retornar al proceso, mientras que el sobrenadante (efluente clarificado) se desborda por la canaleta, con calidad acorde a los límites de descarga permitidos. Otra porción menor de lodo es purgada del sistema desde la línea de retorno de lodos. La cantidad desechada por día, corresponde a la producción diaria de biomasa. La tasa de remoción del substrato es función de la rapidez con la que puede ser adsorbido, sintetizado, y oxidado por la biomasa activa, así como del tiempo que permanecen en contacto con los microorganismos y de otros factores ambientales; cuanto más eficientemente pueda el proceso biológico aprovechar dichos factores y condiciones, tanto más eficiente resultará el tratamiento. En un sistema de lodos activados, la biomasa heterótrofa lleva a cabo la conversión de la materia orgánica, de acuerdo a las siguientes relaciones estequiométricas, donde COHNS representa la composición típica de la materia orgánica disuelta. Síntesis celular: COHNS+N+P+(otros) heterótrofo ⎯⎯ ⎯⎯⎯s⎯→ materia orgánica C5H7O2NP+H2O nuevas células (2) materia orgánica Respiración endógena: C5H7O2NP+5O2 → 5CO2+H2O+NH3+energía (3) células (bacterias) De la demanda bioquímica de oxígeno total (DBO), hay una fracción asociada con la oxidación del nitrógeno amoniacal; esta oxidación se da cuando Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 En la segunda etapa, el nitrito es convertido en nitrato: 1 − Nitrobacter NO 2− + 2 O2 ⎯⎯ (5) ⎯⎯⎯ ⎯→ NO 3 Siendo autótrofos estos organismos, utilizan el CO2 como fuente de carbono y obtienen su energía a partir de la oxidación del amoníaco a nitrato; por lo cual su tasa de reproducción es más lenta, comparada con las bacterias heterótrofas. La energía obtenida a través de dicha oxidación es relativamente pequeña, pero suficiente, ya que dichos organismos nitrificantes están presentes en cantidades limitadas, en casi todos los procesos aeróbicos de tratamiento biológico. Durante la conversión del amoníaco a nitrato, se produce acidez mineral y si la alcalinidad presente no es suficiente, el descenso del pH inhibirá la nitrificación. Por cada kg de amoníaco que se oxida a nitrato, se consume 4.6 kg de O2 y 7.14 kg de alcalinidad (CaCO3). Se producen 0.15 kg de células nuevas y se consumen 0.09 kg de carbón inorgánico. La concentración aceptable de oxígeno disuelto (OD) es 2 a 2.5 g/m3. La literatura (Meltalf & Eddy, 2003) menciona que una edad de lodo mayor de 8 días previene que los organismos nitrificantes no escapen del sistema vía purga de lodos, lo que permite el sostenimiento adecuado de la población. (1) Oxidación del substrato: COHNS+O2 → CO2+H2O+energía la edad del lodo ( θ c) es mayor y el sistema tiene capacidad para suministrar el oxígeno suplementario. Las bacterias autótrofas del género Nitrosomonas y Nitrobacter son las responsables de la conversión que se da en dos etapas. En la primera de ellas, el amoníaco es convertido en nitrito: 3 − Nitrosomona s ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ NO 2 +CO +2H++H O (4) NH3+ O2+HCO 3− ⎯⎯ 2 2 2 ANTECEDENTES La planta bajo estudio tiene una capacidad de diseño de 432,000 m3/d, el arreglo consta de 4 clarificadores primarios, 5 reactores biológicos y 6 clarificadores secundarios, al inicio y final de cada etapa, se juntan las corrientes. Los reactores biológicos están cubiertos con una placa de concreto, de acuerdo al diseño del proceso mencionado. Cada reactor tiene un volumen de 19,120 m3 y está dividido en 4 celdas, a manera de flujo tipo pistón, el tirante 57 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. Fig. 1. Esquema del reactor 5 asociado al clarificador secundario 2. Vista de área de reactores en la planta de tratamientos de aguas negras en Dulces Nombres, N.L., México. es 5.55 m, largo 83.74 m y ancho de 41.16 m; cada uno para 86,400 m3/d, lo cual da un tiempo retención hidráulico (HRT por sus siglas en inglés) de 5.31 h. Los clarificadores secundarios tienen 66 m de diámetro y un tirante de 4.57 m. El tratamiento de lodos incluye digestión anaeróbica y el desaguado con ayuda química, el lodo secundario purgado es previamente espesado. La instalación original de la planta bajo estudio, en cuanto a aeración se refiere, incluía una planta de oxígeno de alta pureza, destacando un compresor de 3,360 kW (kilowatt) y otros equipos periféricos, con una demanda de 4,100 kW, adicionalmente cada reactor estaba equipado con 8 mezcladores superficiales, 2 de 93 kW más 6 de 56 kW, es decir, 522 kW más por concepto de mezclado en cada reactor. Haciendo un balance de energía, la potencia total instalada en aeración era de 6,715 kW, o sea que a cada reactor le correspondían 1,343 kW. Hay que mencionar que durante los primeros años de operación el flujo promedio era apenas 65% del diseño, por lo cual era suficiente operar con sólo 3 reactores, utilizando por lo tanto menos energía. Al poco tiempo de operación, la planta de oxígeno fue desactivada por diversas razones, para dar lugar a un sistema de difusores de fondo de burbuja fina con sopladores centrífugos solo en los primeros 4 trenes, ya que durante ese tiempo se estableció un contrato de suministro de agua tratada con una empresa generadora de energía, hasta por 38,000 m3/d, por lo cual se decidió mantener el proceso original para atender dicho contrato, aislando el reactor 5 con el secundario 2 y se implementó un sistema independiente de retorno y purga de lodos, 58 adquiriendo oxígeno líquido a un proveedor externo, almacenándolo en los tanques existentes para ser gasificado y luego inyectado al reactor 5. Este tren independiente operó con un flujo menor del nominal, en virtud del bajo volumen que demandaba el usuario, así como por su costo. En la figura 1 se observa el diagrama esquemático del reactor 5 que se asoció al clarificador secundario 2. El tratamiento terciario que el usuario le da al agua consiste en un ablandamiento tipo cal en frío, así como otros procesos avanzados para calderas, torres de enfriamiento, generación de vapor, agua contra incendio, etc. Con el efluente del tren 5, ligeramente más ácido por acumulación de CO2 bajo la cubierta del tanque, observó mayor consumo de cal, por lo que solicitó efectuar pruebas con ambos efluentes (burbuja fina y oxígeno puro del tren 5), solicitando posteriormente se le envíe agua de los trenes equipados con burbuja fina, a pesar de que el NH3 tenía valores del orden de 20 a 25 g/m3, en lugar de 2 g/m3 en promedio. METODOLOGÍA El reto que se presentaba consistía en efectuar un diseño para el reactor 5, con capacidad para nitrificar, con el mismo tipo de difusores de burbuja fina y los mismos sopladores, es decir, sin incrementar energía, con el fin de poder satisfacer la calidad que requería el usuario de agua tratada. Haciendo referencia a la literatura, el proceso convencional de lodos activados, comparado con las modalidades de alta tasa y oxígeno puro, cuando está incluida la nitrificación en el mismo reactor, presentan las siguientes características en las cuales destaca la edad de lodos ( θ c), el tiempo de retención hidráulico (HRT), carga volumétrica (CV) y la relación F/M (Food/Microorganism por sus siglas en inglés), ver tabla I. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. Tabla I. Características de las modalidades del proceso de lodos activados. F/M, g DBO/g SSV/d CV, Kg DBO/10^3 m3/d SSLM, g/m3 TRH, h Qr/Q Convencional SRT, días 5-15 0.2–0.5 20-40 2,000-4,000 4-8 0.25 - 0.75 Oxígeno puro 3-10 0.25-1.0 100-200 3,000-8,000 1-3 0.25 - 0.50 Alta tasa 3-10 0.4-1.5 100-1,000 3,000-6,000 2-4 1.00 - 1.50 PROCESO De lo anterior se tiene que, de acuerdo al volumen del reactor y el flujo nominal, se estaría en el rango bajo del tiempo de retención hidráulico (5.31 h) para un proceso convencional y muy próximo a los procesos de oxígeno puro y alta tasa, mismos que requieren menor edad de lodo, respecto al convencional. Sin embargo, no había que perder de vista el objetivo que era la nitrificación, que en un proceso oxígeno puro es factible de alcanzar, pero con un proceso entre convencional y de alta tasa, no hay garantía de lograrlo, según se evidenció con los otros 4 trenes equipados con burbuja fina, debido a la limitación de su diseño, con una densidad de difusores de solo 6%, lo que derivó en bajos niveles de oxígeno disuelto, abultamiento de lodo, pobres características de sedimentación, etc, afectando la calidad del efluente. La tarea fue realizar un nuevo dimensionamiento del requerimiento de oxígeno para el tren 5, considerando el mismo tipo de difusores de burbuja fina, Minipanel™ dúplex, tipo tubular con membrana de EPDM (Etileno Propileno Di.-Monómero) con área activa de 0.47 m2, pero con la densidad adecuada y en los rangos de mayor eficiencia de transferencia de oxígeno. Para optimizar su distribución en las celdas, se realizó una simulación en estado estacionario con el programa GPS-X, tratando de ajustar la concentración de NH3 en el efluente, en función del volumen y distribución de aire, dando finalmente el arreglo de difusores mostrado en la figura 2, cuya calidad del efluente fue aceptable para el usuario. Fig. 2. Arreglo de los difusores para el tren 5. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 59 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. Para lo anterior se consideró la calidad histórica del efluente primario, (ver tabla II), la cual difiere con los datos del diseño original, principalmente en el contenido de NH3, cuyo valor fue 14 g/m3, Al no disponer de coeficientes cinéticos ni de parámetros estequiométricos, para la calibración del modelo, se tomaron de la literatura, aplicando corrección por temperatura. (tabla III). La temperatura varía de 20 a 28°C. Con esta información, se procedió a efectuar el balance de materia (calibración) alrededor del reactor, según los criterios mostrados en la tabla IV. Tabla II. Efluente primario considerado. BOD 204.75 g/m3 KTN 34.30 g/m3 COD 438.75 g/m3 NH3 25.00 g/m3 TSS 122.50 g/m P tot 5.88 g/m3 3 Como se puede ver, la edad del lodo ( θ c) es de solo 5.66 días, lo cual está más identificado con el proceso de alta tasa que con el convencional (ver tabla I). Típicamente se menciona que, para alcanzar la nitrificación, deben de darse ciertas condiciones, como un ambiente con temperatura mayor de 15°C, alcalinidad suficiente para soportar el consumo durante el proceso y una edad de lodos preferentemente mayor a 8 días. Para el requerimiento de oxígeno se consideró la demanda carbonácea y la del nitrógeno, puesto que se requería alcanzar una nitrificación plena. Como se puede observar las gráficas de comportamiento del tren 5 (figuras 3 y 4), se alcanzó a remover aceptablemente la DBO, SST y NH3 (nitrificación con baja edad de lodo). A lo anterior habrá que añadir la eficiencia de transferencia de oxígeno (OTE) aunado a un menor consumo de energía. Se observa que con la densidad declinante de difusores y la sumergencia de los mismos y a una Tabla III. Estimación de coeficientes cinéticos. Tasa max crecimiento de heterótrofos 6.00 d-1 Yh (heterótrofos) 0.40 gVSS/g b COD Tasa máx respiración endógena 0.12 d-1 Ya (autótrofos) 0.12 gVSS/g NOx Tasa max crecimiento autótrofo 0.75 d-1 Ks 20.00 g/m3 Tabla IV. Balance de materia alrededor del reactor. 5.66 d Prod. biomasa, base VSS 11,724.16 kg VSS/d Prod. biomasa, base SST 14,619.01 kg SST/d SSLM de diseño (Xtss) 4,330.00 g/m3 Volumen reactor 19,123.09 m3 Tiempo de retención 5.31 h Relación SSV/SS 0.80 Edad de lodo 60 SSVLM 3,472.57 F/M (base DBO) 0.27 d-1 Yh_obs (base SST) 0.83 gSST/gDBO Fig. 3. NH3 y NTK. g/m3 Yh_obs (base SSV) 0.66 gSST/gDBO Conc. Retorno de lodo 10,500.00 g/m3 Masa base seca 14,619.01 kg/d Volumen de purga 1,392.29 m3/d Fig. 4. Oxígeno disuelto en las celdas. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. tasa baja de aire por área de membrana de 64 m3/ m2/h, se obtuvo una eficiencia de transferencia de oxígeno (OTE) de 35% y una eficiencia estándar de aeración de 4.78 kg O2/kW/h, lo cual denota buen rendimiento. La cantidad de difusores resultó ser el doble del diseño de los otros trenes y requiriendo prácticamente la misma cantidad de aire 25,545 m3/h, por lo que se determinó usar 2 sopladores centrífugos similares a los otros trenes, de 12.743 m3/h vs 0.65 kg/cm2, de 7 etapas con motor de 336 kW. Adicionalmente se consideró otro más en reserva, ver tabla V. Finalmente se verificó la condición de operación del clarificador secundario, que como se dijo, se disponen de 6 unidades, lo cual da una capacidad nominal de 72,000 m3/d, con una carga hidráulica superficial de 21 m3/m2/d y un flujo de sólidos de 5.1 kg/m2/h. El mecanismo es tipo tubos de succión de alimentación central y fondo plano. Cuenta con válvulas excéntricas individuales (10 por brazo) para controlar el flujo y concentración del retorno, y canaleta periférica para el efluente. Al operar el tren 5 con 43,200 m3/d, el clarificador 2 está operando con una sobrecarga hidráulica del 18%, dando un flujo de sólidos de 6.0 kg/m2/h y carga hidráulica superficial mayor a 25 m3/m2/d, es decir, en la parte alta del rango (Metcalf & Eddy, 2003), ver tabla VI, sin embargo, la calidad del efluente clarificado ha sido aceptable, ver tabla VII. Tabla V. Requerimiento de oxígeno y dimensionamiento del sistema de aeración. CALIBRACIÓN Y SIMULACIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO A fin de subsanar las deficiencias observadas en los demás trenes equipados con difusores de burbuja fina, durante septiembre de 2002 se llevó a cabo una simulación en estado estacionario con el programa GPS-X v. 4.02, con el fin estimar la nitrificación a través de la concentración de NH3 en el efluente y predecir la producción de lodo. El modelo fue calibrado según el ASM1 (modelo de lodos activados 1, por sus siglas en inglés), ver gráficas de la simulación en figuras 5 y 6. A partir de datos de diseño, como el volumen y forma del tanque (flujo tipo pistón de 4 celdas), capacidad de bombeo de retorno y purga, así como de información rutinaria disponible incluyendo la caracterización del influente real (base DBO), sólidos suspendidos (totales y volátiles) de licor mezclado y del retorno, eficiencia de transferencia de oxígeno vía curvas características de los difusores utilizados (del fabricante), etc. El clarificador secundario fue modelado tipo unidimensional, es decir, como Simple1d. Req. actual de oxígeno Alpha 28,818.12 kg/d 0.65 Beta 0.95 Concentración OD 2.00 g/m3 Elevación del sitio 426.72 m Altura int. de difusores Req. estándar de oxígeno 0.43 m 2,562.38 kg O2/h OTE estimado 0.35 Tasa de aire 64.00 m3/m2/h, 25,545.15 m3/h Cantidad teórica difusores 799.10 Difusores USAR 860.00 o.k. 1.12 Ratio Flujo de aire en la succión 29,769.91 m3/h Potencia estimada actual 593.58 kW N° equipos en operación 2.00 en oper 336.00 kW 7.48 kg02/kW/h Volumen para transf. O2 Factor de actualización USAR: Eficiencia estándar aeración Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Tabla VI. Revisión del clarificador secundario. Relación Qr/Q 0.67 Ratio Diámetro teórico 66.13 m Flux de sólidos 7.60 kg MLSS/ m2/h USAR 65.84 m Área requerida para espesar 3,434.78 m2 Tirante en la parte cilíndrica 4.57 m Carga hidráulica superficial 25.15 m 3/ m 2/ d Tiempo de retención hidráulico 4.32 h Tabla VII. Comportamiento del tren 5. Parámetro Influente Efluente Eficiencia SST 199.04 13.08 93% DQO 507.50 38.75 92% DBO 187.26 10.86 94% NH3 32.18 1.53 95% 61 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. Fig. 5. Récord de NH3, influente y efluente. Fig. 6. Récord de DBO, influente y efluente. La calibración inició tratando de aproximar la producción de lodo variando la relación DQO particulado/SSV del influente; los parámetros por ajustar durante la simulación fueron el flujo de aire y la densidad de los difusores en las celdas para lograr la concentración de NH3 requerida, lo cual predijo una distribución escalonada, la primera celda con 38%, la segunda y tercera con 25% y la cuarta 12%. El arreglo se muestra en la figura 2. Durante la simulación no se consideró la hidrodinámica del reactor, ya que éste fue modelado como un reactor de flujo tipo pistón de 4 celdas, con una distribución de 25% en volumen cada una. 62 RESULTADOS OBTENIDOS Una vez que arrancó operaciones el tren 5 (agosto de 2003) con el nuevo arreglo de difusores, fue monitoreado con la misma frecuencia que los otros trenes, habiendo obtenido un aceptable comportamiento. En las figuras 5 y 6 se muestra el comportamiento histórico del NH3 y DBO de enero de 2003 a diciembre de 2006, base en promedios mensuales. La frecuencia de muestreo es de tres veces a la semana (lunes, miércoles y viernes). La distribución del aire en cada celda fue uno de los mayores desafíos, ya que es la forma de poder asegurar el flujo de aire a cada difusor para obtener la eficiencia de transferencia de oxígeno, además, todas las bajantes son de 12” y no se dispone de medición de aire en cada bajante. Sin embargo, se pudo aproximar vía monitoreo de concentración de oxígeno disuelto en cada celda, además se tuvo a la mano los datos rutinarios de operación. El nitrógeno amoniacal muestra un cambio notorio en su tendencia a partir de la puesta en operación del tren 5 con el sistema nuevo de difusores de fondo, lo cual también es evidenciado con la concentración de NO3, cuyo promedio era alrededor de 8 a 10 ppm, mientras que en los otros trenes estaba entre 1 a 3 ppm. Cabe mencionar que anterior a este cambio, el proceso del tren 5 era el original (oxígeno puro), adquiriendo éste a un proveedor externo, pero a una tasa menor de 36 Ton/d (diseño original), en parte por su alto costo. Según lo anterior, es posible obtener la cantidad de oxígeno requerida (28 Ton/d) vía dos sopladores centrífugos de 336 kW, con capacidad de 12,743 m3/ h (c/u), aunado a la densidad de difusores obtenida de la modelación y combinado con una aceptable eficiencia de transferencia de oxígeno. En cuanto a la producción de lodo y su purga para el tren 5, se implementó una derivación desde la línea de retorno (independiente) hacia el cárcamo de retorno de lodo de los demás trenes, por lo que no hay restricción para purgar la cantidad que sea necesaria, según los cálculos anteriores. CONCLUSIÓN Considerando lo expuesto en los antecedentes, lograr la nitrificación con casi la mitad de energía que el sistema original, considerando el mismo volumen Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Oxidación del nitrógeno amoniacal con baja edad de lodo y bajo índice energético / Jimmy Loaiza Navía, et al. de flujo en dos procesos distintos y el reactor pequeño para un proceso entre convencional y alta tasa, además del antecedente del bajo desempeño de los otros trenes ya equipados con burbuja fina, constituyó un reto que además desafió la baja edad del lodo. Cabe mencionar que hay 2 aspectos importantes, la forma del reactor (tipo pistón) y la temperatura de proceso, muy apropiada para el crecimiento autótrofo (nitrificación). Sin embargo, estas mismas condiciones también se tenían en los trenes restantes. La potencia para aeración con este nuevo arreglo quedó en 672 kW por reactor, que con respecto a la potencia original (1,343 kW por reactor) da un ahorro en consumo de energía bastante destacable. También es importante mencionar que la vida útil de los difusores de burbuja fina (membrana EPDM) es alrededor de unos 5 años, por lo que habrá que considerar la reposición de las mismas como parte del costo de operación. En vista de los resultados obtenidos, se decidió homologar el diseño del tren 5 para los demás trenes de la planta, a fin de que la planta tenga la misma eficiencia y calidad del efluente clarificado. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 BIBLIOGRAFÍA 1. 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MOP MO-9, Water Environment Federation, WEF “Activated Sludge”, Manual of Practice OM-9, Operations and Maintenance, 1987. 63 �450 años de igualdad... matemática Carlos Prieto de Castro Instituto de Matemáticas, UNAM cprieto@matem.unam.mx RESUMEN Hace 450 años se inventó el signo de igualdad. En este artículo se reseña este suceso. PALABRAS CLAVE Ecuación, igualdad, signo igual. ABSTRACT Four hundred and fifty years ago, the sign of equality was invented. A brief description of this event is presented in this note. Robert Recorde [1510-1558]. KEYWORDS Equation, equality, equality sign. Igualdad está en la esencia de las matemáticas. La palabra “ecuación” es sinónima de “igualdad”, pues una ecuación es una igualdad que debe hacerse válida para los valores adecuados de la “incógnita”. Esos valores que han de conocerse constituyen la “solución” de la “ecuación”. ¿No es cierto que quién piensa en la esencia de las matemáticas, la asocia con ecuaciones? Realmente, la igualdad rebasa las ecuaciones. Simplemente, cuando hacemos alguna operación nos preguntamos a qué es igual. Decimos “dos más dos es igual a cuatro” o “raíz cuadrada de nueve es igual a tres”. También podemos referirnos a dos ángulos iguales: “la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a un ángulo llano”. Es así que esta expresión “es igual a” requería de un símbolo para escribirla. Este símbolo no siempre había existido. Hubo un creador de él. El médico Robert Recorde (Tenby, Gales, 1510-1558), en su obra sobre álgebra The Whetstone of Witte1 (Londres 1557), consideró demasiado engorroso escribir constantemente “es igual a” y propuso el signo de igual: Artículo publicado en la revista Ciencia, Vol. 58, No. 1. correspondiente a eneromarzo 2007. Reproducido con la autorización de la Academia Mexicana de Ciencias y del autor. 64 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �450 años de igualdad... matemática / Carlos Prieto de Castro I will sette as I doe often in woorke use, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicause noe .2. thynges, can be moare equalle. (Pondré, como lo he hecho frecuentemente en La invención del signo de igual se recuerda en la St. Mary’s Church, en Tenby, Gales, pueblo natal de Recorde. Conmemoramos este año cuatro siglos y medio de su invención. mi trabajo, un par de paralelas, o líneas gemelas de la misma longitud, así: =, porque no hay dos cosas que sean más iguales.) NOTAS 1. El antiguo nombre latino para “álgebra” era Cos Ingenii que traducido al inglés moderno da “the whetstone of wit” (whetstone es “piedra de afilar” y wit es “agilidad mental”). 2. Fue médico del Rey Eduardo VI y de la Reina María. 3. “Los Fundamentos de las Artes” 4. “El Castillo del Conocimiento” 5. “El Camino al Conocimiento” 6. Por cierto, se presume que “Los Elementos” es, después de “La Biblia”, el libro más traducido, publicado y estudiado del mundo occidental. La simplificación en la simbología matemática ha resultado ser una magnífica aliada para lograr la rápida evolución de nuestra ciencia. Vale la pena poner el siguiente ejemplo que aparece en Los Elementos de Euclides (II.4, 300 AC): Al cortar una línea recta al azar, el cuadrado sobre toda ella es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por los segmentos. En términos modernos esto simplemente se escribe: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab No obstante, matemáticamente los contenidos de ambas expresiones son idénticos, como ha sido lo que conceptualmente los matemáticos a lo largo de la historia siempre han interpretado de ellas. Aun siendo médico,2 la trascendencia histórica de Recorde fue gracias a sus libros de texto sobre matemáticas. En The Grounde of Artes3 (1540), que es una de las obras matemáticas más antiguas publicadas en inglés, fue Recorde el primero en utilizar sistemáticamente los símbolos + y –. Entre otros de sus libros se encuentra The Castle of Knowledge4 (1551), una obra astronómica que discute las teorías de Copérnico; The Pathwaie to Knowledge5 (1551), es considerado por muchos como un resumen de Los Elementos de Euclides.6 Recorde murió en la prisión del tribunal del rey en 1558, donde fue puesto por deudas. Se cree, aunque no se sabe bien a bien, que Recorde pudo haber sido encarcelado por serias denuncias en su contra durante su trabajo como contralor de las minas en Irlanda entre 1551 y 1553. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 65 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles Luis Gaete Garretón,A Yolanda Vargas Hernández,A Alain Chamayou,B John DoddsB Universidad de Santiago de Chile, Laboratorio de Ultrasonidos, Chile Ecole des Mines D’Albi-Carmeaux, Francia lgaete@usach.cl A B RESUMEN En este artículo se presenta y describe un Molino Ultrasónico de Rodillos de Alta Presión (MURAP). Se establecen las principales ventajas del ultrasonido aplicado a la molienda para el caso de materiales frágiles los que, en general, son de alta dureza. Para independizarse de características geométricas se compara el desempeño de la máquina con ella misma operando sin activación ultrasónica, sólo como un molino de rodillos de alta presión. Los resultados, establecidos para andesita (óxidos de Cu) y cuarzo, cuando se emplea el ultrasonido, muestran una disminución en el consumo de energía de un 20%, en la tensión sobre los ejes de un 50% y el desgaste de las superficies moledoras de hasta un 50%. PALABRAS CLAVES Molino, ultrasonido, rodillos, alta presión, molienda. ABSTRACT A High Pressure Ultrasonic Roll Mill is described in this paper. The main assets of ultrasound applied to grinding of brittle materials, which are commonly hard are described. The machine running with ultrasonic activation was compared against itself without it, as high pressure mill only, for being independent of geometrical characteristics. The results, over andesite (Cu oxides) and quartz, show a decrease of energy consumption of 20%, stress over the axes of 50%, and reduction of the milling surfaces wearing up to 50%. KEYWORDS Roll mill, ultrasound, high pressure, grinding. INTRODUCCIÓN Tecnologías de molienda de materiales más eficientes y robustas son siempre un tema de interés. Una de las posibilidades de mejorar los procesos de molienda, que ha sido explorada desde hace años, es el empleo del ultrasonido, sin embargo, actualmente no hay en el mercado una máquina ultrasónica de molienda, aunque ya existen tecnologías de ultrasonido disponibles para los procesos relacionados con perforación de materiales y destrucción de cálculos renales. 66 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. Aparentemente Gärtner ha sido el primero en intentar la molienda de materiales en suspensión aplicando ultrasonido. 1 Sus resultados fueron modestos y sin interés práctico. Fleischhauer y Kröger (1969),2 emplearon ondas ultrasónicas de alta potencia (400W) para fragmentar mineral de carbón para su posterior extracción por solvente, la zona activa de su dispositivo es de interés aunque no hay detalles de sus resultados. Graff (1979)3 empleó una serie de transductores ultrasónicos como parte de un molino de estampa multietapa con el que el 80% de las particulas obtenidas eran menores de 0.5mm, y las más grandes de entre 50 y 65 mm, sin proporcionar información sobre el consumo de energía. En experimentos de una etapa consiguió moler hasta un 40% bajo 4,76 mm, un 50% bajo 2,37 mm y porcentajes menores de fino, no hay mayor información cuantitativa de sus resultados. Tarpley and Moulder (1980), 4 estudiaron la fragmentación fina de carbón bajo campos ultrasónicos para usos energéticos, para esto diseñaron varios dispositivos. Sus resultados fueron promisorios reportando consumos del orden de 3 kWh/Ton para producir carbón 80% bajo la malla 200. Un molino de martillo necesitaría para producir el mismo material un consumo de energía del orden de 20 kWh/Ton, resultados igualmente interesantes se consiguieron para tamaños más finos. Más tarde, en 1988, Link y Killmeyer,5 intentaron reproducir sus resultados sin éxito. Leach y Rubin (1988), 6 estudiaron la fragmentación ultrasónica de probetas cilíndricas de roca excitadas mediante un transductor de potencia adosado a uno de sus extremos, observando fracturas preferentemente en los nodos y mejores resultados en materiales frágiles. Lo y Kientzler (1992)7 recuperaron una de las máquinas originales de Tarpley y Moulder y luego de rediseñar el generador de ultrasonido emplearon el sistema para la molienda de minerales. Sus resultados fueron similares a los de un molino de bolas, no mejores, sin embargo, su investigación ha servido para identificar algunos puntos débiles del diseño original y para proponer nuevos diseños.8 Menacho, Yerkovic y Gaete9 hicieron ensayos de molienda en un molino de bolas, comparando un mineral estándar con uno pretratado con ultrasonido. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 El material pretratado exhibió una tasa de molienda superior del orden del 32%. Los mecanismos y fenómenos que conducen a los resultados descritos previamente no están aún explicados completamente y se realiza investigación básica para ahondar en su conocimiento. Un punto clave que ayuda a entender el efecto del ultrasonido en los materiales es el experimento realizado por Blaha y Langenecker (1959).10 Ellos estudiaron la influencia del ultrasonido en la tenacidad de un monocristal de zinc. Los resultados se pueden ver en la figura 1. El efecto del ultrasonido es evidente y ha sido propuesto como explicación que producen una acumulación de defectos y propagación de grietas presentes en el material causando el desmoronamiento del mismo. Los experimentos y trabajos descritos soportan la idea de enfrentar el complejo problema de diseño de una máquina de molienda asistida por ultrasonido que permita moler manteniendo altos rendimientos energéticos. Para esto se ha abordado el diseño de un molino asistido por ultrasonido, conjugando las competencias de especialistas en diseño de máquinas y expertos en ultrasonido. El resultado se presenta en este trabajo en el que se muestra un reciente diseño Fig. 1. Comportamiento de la resistencia de un cristal de zinc a la tensión mecánica durante un proceso de estiramiento de una pieza construida como un monocristal de zinc (Blaha y Langenecker)10 La línea segmentada representa los resultados al aplicar ultrasonido. La curva 1 muestra como se recupera la tenacidad del material cuando se suspende la utilización de ultrasonido. La curva 2 muestra los resultados para una aplicación continua. 67 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. de un MURAP, se evalúa su desempeño y se muestra la conveniencia de abordar un escalamiento de la tecnología a mayores capacidades de proceso. Debido a su alta capacidad de proceso y buen rendimiento,11 la máquina se ha diseñado como un molino de rodillos de alta presión. Esta tecnología de molienda es la más eficiente disponible hoy día, sin embargo, tiene problemas de desgaste excesivo en las superficies moledoras y fatiga en los ejes cuando se intenta utilizar para materiales duros. Este diseño ha permitido superar los problemas de acoplamiento entre el material a moler y los transductores ultrasónicos, una de las dificultades a resolver cuando se desarrolla una tecnología que emplea ultrasonido. El rendimiento se obtiene haciendo que las partes activas del molino sean esencialmente resonantes.12 En esta comunicación se presentan los detalles principales de diseño y la evaluación del MURAP en la molienda de materiales duros y frágiles como cuarzo y andesita (óxidos de Cu). Los ensayos, se presentan en el mismo orden y están encaminados a evaluar el rendimiento energético de la tecnología desarrollada, la robustez de la máquina y la calidad del proceso. DESCRIPCIÓN DEL MURAP El molino se compone esencialmente de tres partes: la primera de ellas es la llamada parte activa del molino, en esta versión13 consiste en un sistema que permite montar dos rodillos de diferente diámetro alineados según su eje de simetría (ver figura 2). Los rodillos están hechos de acero SAE 1220, templado a dureza máxima, para disminuir los problemas de desgaste. Los sistemas motriz y de control se aprecian en la figura 3 en la que se muestra un esquema del dispositivo experimental necesario para la evaluación del MURAP. La máquina está dotada de un cinta extensiométrica para detectar el desplazamiento relativo de un rodillo respecto del otro. La tensión de molienda se ajusta mediante resortes y o elastómeros que se muestran esquemáticamente con el rótulo de “Tensores” en la figura 3 y aparecen con el número 8 en la vista en perspectiva de la figura 2. La molienda se realiza entre los dos rodillos, uno que es un transductor 68 ultrasónico diseñado como una palanqueta resonante que proporciona la energía elástica para la molienda y otro, llamado “rodillo pasivo” que proporciona la presión de molienda, consiguiéndose el acoplamiento necesario para transmitir las ondas ultrasónicas al material en proceso. La fuerza motriz, que se comunica al rodillo pasivo se transmite al activo mediante un sistema de engranajes calculados de forma que las superficies de los cilindros activo y pasivo tengan la misma velocidad tangencial. El material a procesar se introduce entre los dos rodillos Fig. 2. Parte activa del Molino Ultrasónico de Rodillos de Alta Presión (MURAP). En el diagrama: 1 Muros soportantes (acero estructural), 2 Rodamientos lineales, 3 Soporte rodamientos, 4 Rodillo ultrasónico, 5 Rodillo pasivo, 6 Pernos Parker de montaje, 7 Control de tensión, 8 Resortes tensores, 9 Soportes rodamientos, 10 Electrodo rotatorio, 11 Tuercas fijación holgura, 12 Cárter, 13 Ventilador. Fig. 3. Diagrama de bloques para un experimento típico de molienda con el MURAP. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. mediante un embudo especialmente diseñado para estos efectos. La forma de operación de la máquina requiere que el espacio de admisión de material a moler entre los dos rodillos esté siempre lleno, el nivel del material presente en el embudo proporciona una ligera presión para facilitar la captura (mordida) de las partículas en proceso. Cabe destacar que la zona activa de la máquina ultrasónica es de unos treinta centímetros de longitud. El motor que impulsa los rodillos es de 2 HP y tiene un variador de velocidad. Por motivos de espacio no se expondrán en este artículo los resultados de ensayos realizados con diferentes velocidades angulares, los que, en general, tienen la influencia esperable en el flujo de mineral molido. La máquina completa ocupa una superficie de aproximadamente 1,6 por 0.8 metros y es capaz de producir alrededor de 10 toneladas (material de densidad aproximada 3) en un día completo de trabajo (24 horas). Para hacer un estudio comparativo de los beneficios del empleo de ultrasonido se hace el mismo experimento de molienda con la máquina ultrasónica y con el mismo sistema sin activar el generador de ultrasonido. En estas condiciones la máquina trabaja como un molino de rodillos de alta presión.11 En los experimentos se hace necesario medir simultáneamente la potencia consumida por el motor, el sistema ultrasónico, y las variables susceptibles de medir, esto se logra con un sistema de adquisición de datos controlado por computador. Prototipo del MURAP desarrollado para este estudio. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 DESARROLLO EXPERIMENTAL Los experimentos consisten en realizar diversas moliendas de cuarzo y roca ígnea (andesita), midiendo los parámetros de interés. Para evaluar el rendimiento de la máquina se emplea la “velocidad específica de fractura” (SiE). Este parámetro14 es en realidad un estimador de las principales características de una máquina en ensayos de molienda, mide la capacidad de generar distribuciones de tamaño de partícula de mineral considerando la energía empleada en hacer aparecer cada clase de la distribución. Los resultados en un ensayo de molienda consideran la distribución granulométrica de partida, la que genera el proceso y el gasto de energía empleado en el mismo. Así este importante parámetro se calcula como: SiE = − 1 E Específica ⎛P %⎞ ln ⎜ 0 ⎟ ⎝ Fi % ⎠ (1) Donde SiE es la velocidad específica de fractura. E es la energía empleada en producir una Específica unidad de masa de producto (kWh/Ton). P % es el porcentaje acumulado en cada tamaño 0 producido. F % es el porcentaje acumulado de material en i cada tamaño de la alimentación. Las curvas de la velocidad específica de fractura se representan en escalas logarítmicas y cuanto más eficiente es el proceso más arriba está la curva asociada. A continuación se muestran los resultados de los ensayos realizados para las características más relevantes del proceso. ENSAYOS DE CONSUMO DE ENERGÍA Las partes ultrasónicamente activas se han diseñado como piezas resonantes, así la conversión de energía eléctrica en acústica es muy eficiente. En la figura 4 se muestra la relación entre la potencia total demandada por la máquina y la potencia acústica aplicada para un ensayo típico de molienda de andesita. En esta figura se puede apreciar que mientras mayor es la potencia aplicada, menor es el consumo global de energía para la molienda. Sin embargo, la evaluación de la tecnología debe también considerar otros aspectos del proceso. Debido a ello se hace necesario medir, por ejemplo, el desgaste del 69 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. Fig. 4. Potencia total empleada en la molienda versus la potencia ultrasónica aplicada, rodillos a 120 RPM. Material de ingreso andesita (Minera Pudahuel) monotamaño 6 # Tayler. equipo y algún parámetro que indique la relación entre el consumo de energía y el producto obtenido como resultados de la molienda ( SiE ). ENSAYOS DE DESGASTE DE MATERIAL El desgaste de los rodillos moledores de acero 1220 templados, es muy bajo, por lo que una prueba de desgaste tomaría mucho tiempo y además generaría un problema de acumulación de material molido en un laboratorio. Para hacer el ensayo de desgaste se utilizaron rodillos de material blando o sin templar. Los experimentos se realizaron fuera del laboratorio debido al gran volumen de material molido que generan. Se construyeron los rodillos con acero 1020 de uso estructural y un acero para construcción de herramientas (4340). Así después de un ensayo que duró varias horas se pudo evaluar el comportamiento de los rodillos con y sin ultrasonido. Los resultados se presentan en la figura 5(a). Debido a la influencia del torque en la duración de los ejes y a su correlación con el desgaste del material, se muestra también, en la figura 5(b), una curva de su comportamiento frente a la activación ultrasónica de los rodillos. Es inmediato apreciar la disminución en la pérdida de material que se produce cuando se aplica ultrasonido a los rodillos moledores. El desgaste coincide con una apreciable baja en el torque de trabajo. 70 Fig. 5. Ensayos de desgaste de los rodillos construidos con dos tipos de acero. (a) Torque contra la potencia acústica aplicada. (b) Desgaste de los rodillos contra potencia acústica aplicada. ENSAYOS DE VELOCIDAD ESPECÍFICA DE FRACTURA En la figura 6(a) se puede apreciar el comportamiento de la máquina moliendo mineral de Cu. La máquina ultrasónica se ha activado con diferentes potencias, y además se efectuó una prueba a 0 W, esto es sin utilizar ultrasonido, lo que implica que la máquina operaba como un molino de rodillos de alta presión. Se advierte que la mejor curva de rendimiento global se obtiene para una potencia ultrasónica de 20 W. Las diferencias de rendimiento se explican porque a pesar de que aplicando una mayor energía ultrasónica mejoran las variables mecánicas, como se puede apreciar en las figuras 4 y 5, la producción de finos disminuye bajando la velocidad específica de fractura. Así, las curvas consideradas mejores son las que están en las partes superiores de la figura. Debe notarse que la curva que muestra la mayor velocidad de fractura para el mineral de cobre es la que se obtiene con una potencia ultrasónica aplicada de 20 W. Para establecer si este comportamiento es común a todos los materiales frágiles aplicamos la tecnología de molienda ultrasónica al cuarzo, material conocido por las dificultades que presenta para la molienda, ver figura 6(b). La velocidad específica de fractura en el cuarzo tiene un comportamiento un poco diferente al que se encuentra con el mineral Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. de cobre. De forma similar al caso anterior, la mejor curva es para la molienda que se realiza con 20 W de potencia ultrasónica. Pero, sorprendentemente, la curva de “0 W” supera a la de 100 W. Por claridad no Fig. 6. Curvas de velocidad específica de fractura para dos materiales frágiles. (a) Alimentación: mineral de cobre (andesita) monotamaño [1.18, 1.7 mm]. Separación entre rodillos 0.2 mm. 120 rpm. (b) Alimentación: cuarzo monotamaño P80 2925 mm, Separación entre rodillos 0,25 mm 150 rpm. Equipo utilizado para la evaluación del MURAP. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 se representan curvas de otras potencias obtenidas para este ensayo. Diremos que, en general, las curvas de alta potencia se acercan más a la de 20 W que a la de 0 W. Debe notarse sin embargo, que la velocidad de fractura no toma en cuenta el desgaste del material moledor (rodillo) y en ese aspecto las altas potencias ultrasónicas tienen mucho que ganar. Así, por ejemplo, si se desea un material de mucha pureza podría ser recomendable realizar la molienda a 100 W de potencia ultrasónica sacrificando ligeramente el rendimiento del proceso. En este aspecto se puede mencionar que, para el cuarzo molido con una potencia ultrasónica de 100 W, no se detectó contribución de acero en el producto luego de haber reducido el tamaño desde unos 3 mm hasta 100% inferior a 40 micrones, en tres pasadas. En los ensayos repetidos se producen los efectos esperados: gran cantidad de fino y los “hábitos de fractura” del mineral se conservan manteniéndose la ventaja de la molienda para la potencia ultrasónica de 20 W. CONCLUSIONES Se ha ensayado una tecnología de molienda ultrasónica , en especial en la molienda de materiales frágiles. De los resultados de esta investigación se puede concluir lo siguiente: La tecnología ultrasónica de molienda en MURAP consume en general menos energía que cualquiera de las tecnologías en uso actualmente. El molino ultrasónico (MURAP) presenta una dramática disminución en el desgaste de los rodillos moledores. Durante el proceso de molienda el comportamiento del mineral es similar al que se presenta en otras tareas de molienda. Para cada material se debe establecer la mejor estrategia de molienda considerando, por ejemplo, la velocidad específica de fractura o alguna característica que se desee privilegiar. Por ejemplo, si se necesita un material extremadamente puro conviene el empleo de altas energías ultrasónicas, privilegiando este aspecto ante los mejores rendimientos. Dado los altos consumos de energía que se registran en los procesos de molienda en la industria 71 �Molino ultrasónico de rodillos de alta presión para materiales frágiles / Luis Gaete Garretón, et al. minera es de interés escalar la tecnología desarrollada para hacerla útil en este tipo de tareas. El buen desempeño de la máquina ultrasónica hace interesante explorar su empleo en molienda no tan fina para minerales que, por ejemplo, serán sometidos a lixiviación bacteriana. Resulta de interés explorar si la máquina ultrasónica es capaz de activar la superficie de las substancias molidas para facilitar procesos posteriores, como, por ejemplo, la flotación. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen la contribución del Proyecto ECOS-CONICYT C03E05 para mantener los intercambios científicos que han sido necesarios para la realización de este trabajo. REFERENCIAS 1. W. Gärtner, Acustica 3, pp 124-128, 1959. 2. W. J. Fleischhaner and C. Kröger, Forschungsberichte des Landes NordrheinWestfallen, Nº 2081, 1969. 3. K. F. Graff, Ultrasonics International’79 Proc., pp 171-175, Graz, Austria, May 1979. 4. W. B. Tarpley Jr., P. L. Howard and G. R. Moulder, Quarterly Technical Progress Report Nº2, 1980. 72 5. T. Link and R. P. Killmeyer, PETC Coal Preparation Division Internal Report, 1988. 6. M. F. Leach and G. A. Rubin, Ultrasonic Symposium of IEEE, pp 485-488, 1988. 7. Y. C. Lo and P. J. Kientzler, Comminution-Theory and Practice Symposium, SME Littleton, Co., Ed. S. K. Kawatra, Chapter 47, pp 645-659, 1992. 8. Y. C. Lo, P. Kientzler and R. P. King, XVIII International Mineral Proc. Congress, Sydney, 23-28 May, pp 145-153, 1993. 9. J. Menacho, C. Yerkovic and L. Gaete-Garretón, Mineral Engineering, Vol. 6, Nº 6, 1993. 10. F. Blaha and B. Langenecker, Acta Metallurg 7(2), pp 93-100, 1959. 11. N. Patzelt, J. Kneecht, W. Baum, Proceedings of the XX IMPC_ Aachen, 21, 26 September pp 155-164. 12. L. Gaete-Garretón, Y. Vargas-Hernández, A. Chamayou, J. A. Dodds; W. Valderama-Reyes, F. Montoya-Vitini, Chemical Engineering Science 58 (2003) 4317 – 4322. 13. L. Gaete-Garretón, A. Gutiérrez-Silva, L. MagneOrtega, J. Menacho-Llaña, Y. Vargas-Hernández, F. Montoya-Vitini. Patente de Invención. Registro Nº 42.571Chile. 2005. 14. G. Austin, Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, Pub. Society of Mining Engineers (1984). Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Eventos y reconocimientos I. DEVELAN BUSTO DEL MAESTRO CEDILLO GARZA El pasado 14 de mayo se rindió un merecido homenaje al M.C. Guadalupe E. Cedillo Garza, decano de la FIME-UANL con motivo de sus 50 años de labor docente. El Maestro Cedillo, oriundo de Santiago, N.L., México, es Ingeniero Mecánico, Licenciado en Matemáticas y Maestro en Ciencias de la Ingeniería Mecánica por la UANL. Además de su labor docente, fue miembro fundador del sindicato de la UANL, miembro del comité fundador de la Escuela de Graduados de la FIME, consejero maestro y miembro de la Comisión Académica del Consejo Universitario de la UANL, y director de la FIMEUANL. Ha recibido diferentes reconocimientos y actualmente es miembro de la Junta de Gobierno de la Universidad Autónoma de Nuevo León. Para dejar memoria de la obra del Maestro Cedillo se develó un busto frente a la biblioteca de la FIME, la cual lleva su nombre, ante la presencia del Rector de la UANL, M.C. José Antonio González Treviño, el Director de la FIME, M.E.C. Rogelio G. Garza Rivera y autoridades universitarias, familiares y amigos. El Rector de la UANL, M.C. José A. González Treviño, y el Director de la FIME, M.E.C. Rogelio Garza Rivera, con el Ing. Cedillo Garza junto a su busto. El Rector de la UANL entregando al M.C. Guadalupe E. Cedillo Garza el reconocimiento por su sobresaliente trayectoria como educador iniversitario. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 II. LA UANL RECONOCE LA LABOR DEL MAESTRO GUADALUPE E. CEDILLO GARZA Durante la celebración que la UANL llevó a cabo con motivo del día del maestro de 2007, se reconoció la labor educativa que el maestro Guadalupe Evaristo Cedillo Garza ha desarrollado durante 50 años. El rector José Antonio González Treviño, le expresó su agradecimiento y reconocimiento entregándole una estatuilla a nombre de la UANL, ante profesores eméritos y maestros decanos de la misma, en una ceremonia efectuada en la Biblioteca Universitaria Raúl Rangel Frías. El rector de la UANL además de enumerar las cualidades que debe tener un maestro universitario 73 �Eventos y reconocimientos indicó que: “En estos tiempos, de manera especial, el maestro universitario debe traspasar la línea del saber para abrir a los discípulos el horizonte del ser, motivándolos y orientándolos con su ejemplo, con su testimonio, para que ellos también logren amar ese conocimiento, hacerlo propio, aplicarlo y enriquecerlo a lo largo de sus vidas.” El maestro Guadalupe Evaristo Cedillo Garza agradeció el reconocimiento y afirmó que es un orgullo pertenecer a la planta docente de la UANL y haber contribuido en forma modesta, a su engrandecimiento. III. RECONOCIMIENTO A LA LABOR DOCENTE DE MAESTROS DE LA FIME-UANL Con motivo del “Día del Maestro” la dirección de la FIME-UANL efectuó un reconocimiento a los profesores de mayor antigüedad laboral, así como a los catedráticos que cumplieron 35, 30, 25 y 15 años de docencia en dicha institución. Los maestros que durante el año 2006 cumplieron 50, 40 y 30 años de labor docente se listan a continuación: 50 Años. M.C. Guadalupe Evaristo Cedillo Garza 40 Años. M.C. Jesús Filomeno García Ramírez M.C. Manuel Amarante Rodríguez 30 Años. Entrega de medalla al M.C. Cedillo Garza por sus 50 años como maestro, durante la tradicional celebración del Día del Maestro de la FIME-UANL. 74 M.C. María Blanca Palomares Ruiz M.C. Juan Antonio Franco Quintanilla Ing. Hernán Heredia Lara Ing. Sergio Sánchez Rodríguez M.C. Jesús Moreno López M.C. Raúl Alvarado Escamilla M.C. Rodolfo Castillo Martínez M.C. Juan Ángel Garza Garza M.C. Vicente García Díaz IV. NUEVO PRESIDENTE DEL CAPÍTULO MONTERREY DE LA ASHRAE El pasado 7 de junio de 2007 el Dr. Juan Antonio Aguilar Garib tomó protesta como nuevo presidente, para el periodo 2007-2008, del Capítulo Monterrey de ASHRAE (Sociedad Americana de Ingenieros en Aire Acondicionado y Refrigeración). El Capítulo Monterrey reúne a los profesionales interesados en la ciencia y las artes relacionadas con el área que le da su nombre a la sociedad, buscando servir a la humanidad y promover un mundo sustentable. El Dr. Aguilar Garib es Profesor Investigador de la FIME y es también el encargado de la Rama Estudiantil de la UANL de esta prestigiada asociación profesional. Marisa Jiménez de Segovia, presidenta saliente; Juan Antonio Aguilar Garib, presidente entrante de ASHRAE, capítulo Monterrey, para el período 2007-2008. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Titulados a nivel Maestría en la FIME-UANL Marzo - Mayo 2007 Víctor Eduardo Trejo Dávalos, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad en Producción y Calidad, “Cómo desarrollar y promocionar un negocio”, 2 de marzo de 2007. Juan Carlos Reyes Aguirre, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Producción y Calidad, (Examen por materias), 28 de marzo de 2007. Félix Rafael Segundo Sevilla, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control, “Modelado y detección de fallas para un sistema de cogeneración”, 2 de marzo de 2007. Luis Alberto Flores Pavón, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Mecánica con especialidad en Materiales, “Caracterización microestructural del inconel 718 aplicando la técnica del poder termoeléctrico”, 29 de marzo de 2007. Fernando Flores Olvera, Maestro en Ingeniería con orientación en Eléctrica, (Examen por materias), 14 de marzo de 2007. Adrián Guadalupe Quiroz Vázquez, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Relaciones Industriales, (Examen por materias), 16 de marzo de 2007. Luis Humberto Bustamante Alcocer, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Relaciones Industriales, “ISO 14,000: El ISO verde” (Proyecto corto), 22 de marzo de 2007. Moisés Muñoz Sánchez, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Potencia, “Optimización de la energía eléctrica en el CECYTE plantel Marín”, 23 de marzo de 2007. Julio Alfonso Martínez Escamilla, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Relaciones Industriales, (Examen por materias), 26 de marzo de 2007. José Manuel Velarde Cantú, Maestro en Ciencias en Ingeniería de Sistemas, “Optimización de flotilla y asignación de vehículos en una red de transporte”, 28 de marzo de 2007. Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 Miguel Ángel Quiñones Salinas, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Mecánica con especialidad en Materiales, “Desarrollo de la metodología para ensayos de fatiga térmica”, 30 de marzo de 2007. Nancy Acevedo Martínez, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad en Relaciones Industriales, “Mercado de recursos enfocado al aspecto económico empresarial”, 30 de marzo de 2007. Juanita Ríos Serna, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Finanzas, (Examen por materias), 19 de abril de 2007. Afredo Villarreal Villarreal, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad en Relaciones Industriales, “Desarrollo de cultura y calidad en la formación de los estudiantes de preparatoria”, 20 de abril de 2007. Cixsiam Karismak Salazar Álvarez, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Finanzas, “Filtro individual de café de grano, con una estimación de una tira mayor al 30%” (Proyecto corto), 27 de abril de 2007. 75 �Titulados a nivel Maestría en la FIME-UANL Armando Carvajal Hernández, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Producción y Calidad, (Examen por materias), 3 de mayo de 2007. Gabriel Rivera Facundo, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Relaciones Industriales, (Examen por materias), 4 de mayo de 2007. Leticia Salas Rojas, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Producción y Calidad, “Medición, análisis y mejoramiento de la eficiencia de una área de manufactura” (Proyecto corto), 7 de mayo de 2007. Martín Sifuentes Del Ángel, Maestro en la Administración Industrial y de Negocios con orientación en Producción y Calidad, “Reingeniería del proceso de introducción de nuevos programas de una planta ensambladora” (Proyecto corto), 7 de mayo de 2007. Julio César De la Garza Almaguer, Maestro en la Administración Industrial y de Negocios con orientación en Relaciones Industriales, “Estrategias para ventas de equipo industrial” (Proyecto corto), 7 de mayo del 2007. Mauro Erick Sáenz Martínez, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Electrónica, “Protocolo CAN”, 7 de mayo de 2007. Obed Ramírez Gómez, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Potencia, “Análisis de la coordinación de relevadores de sobre corriente en sistemas altamente interconectados con múltiples fuentes de generación”, 14 de mayo de 2007. Martín Jorge Valadez Silva, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Finanzas, “Evaluación económica de alternativas de suministro de hidrógeno para proyecto de inversión” (Proyecto corto), 18 de mayo de 2007. José Antonio Aranda Maltez, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Mecánica con especialidad en Térmica y Fluidos, “Circuitos fluídicos, teoría y aplicación”, 21 de mayo de 2007. Adrián Ernesto Martínez Ruiz, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Mecánica con especialidad en Materiales, “Síntesis y caracterización de nuevos polímeros conjugados vía condensación aldólica y sonogashira-heck, desarrollo de dispositivos electroluminiscentes”, 22 de mayo de 2007. Alfredo Mendoza Lozano, Maestro en Ingeniería con orientación en Mecánica, (Examen por materias), 25 de mayo de 2007. Jesús Eduardo Rodríguez Maltos, Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control, “Detección de fallas en trasformadores aplicando técnicas lineales”, 8 de mayo de 2007. Fernando Peña Carranza, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad Relaciones Industriales, “La evaluación del desempeño para el desempeño de los empleados de las empresas de servicios a la industria petrolera”, 28 de mayo de 2007. José Gerardo Belmares Garza, Maestro en Administración Industrial y de Negocios con orientación en Producción y Calidad, “Elección de la tecnología” (Proyecto corto), 8 de mayo de 2007. Ricardo Garza Rodríguez, Maestro en Ingeniería con orientación en Macatrónica, “Diseño de un motor de cuatro grados de libertad” (Proyecto corto), 30 de mayo de 2007. Emma Alicia Fernández Trejo, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad en Finanzas, “Instituto de Enseñanza Internacional de Saltillo A.C.”, 9 de mayo de 2007. Jorge Alberto Garza Garza, Maestro en Ingeniería con orientación en Macatrónica, “Desarrollo de la cinemática directa del robot Eshed de 5 ejes” (Proyecto corto), 30 de mayo de 2007. Alejandra Cristina Cabral Mireles, Maestro en Ciencias de la Administración con especialidad en Finanzas, “Finanzas e inversiones familiares”, 9 de mayo de 2007. Oscar Fabián Gopar Martínez, Maestro en Ingeniería con orientación en Mecatrónica, “Control para scanner 3D” (Proyecto corto ), 30 de mayo de 2007. Sarmach Ulianov Enriquez Sias, Maestro en Ingeniería con orientación en Telecomunicaciones, (Examen por materias), 11 de mayo de 2007. Laura Isabel Von Chong Gamboa, Maestro en Ingeniería con orientación en Manufactura, (Examen por materias), 31 de mayo de 2007. 76 Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Acuse de recibo ENERGÍA HOY AMBIENTE PLÁSTICO La revista Energía Hoy: Ruta de Negocios, es una publicación mensual, editada en México, en la que se discuten aspectos de actualidad con respecto al uso de energía. En el número de junio de 2007 (Año 4, número 39) se publicaron interesantes artículos: uno de ellos trata sobre la dependencia que tiene la rentabilidad de los proyectos de generación eléctrica, con base en tecnología menos contaminante, y el marco jurídico del lugar en que se instalan. Además se analizan los aspectos legales en relación con las fuentes de energía renovable de México. En la sección “Medidor” se presenta la evolución del precio de la gasolina en México desde 1987, y cómo ha sido siempre ascendente, sin ajustes por disminución del precio del petróleo. Esta revista seguramente resultará interesante para aquellas personas que tienen conocimientos básicos de ingeniería y tecnología y que están interesados en los aspectos políticos y económicos de la energía. Más información sobre esta revista en: www.energiahoy.com Revista bimestral publicada por el Centro Empresarial del Plástico dirigida al creciente sector de productores y comercializadores de insumos equipos y productos plásticos. Esta publicación, por desgracia impresa en papel brillante que dificulta su lectura, aborda en cada número un tema principal, actualmente relacionados con los procesos de la transformación de plásticos, además de tener una serie de secciones como son: Ciencia, Zona de Oportunidad, Personalidad, Empresas, Mercado, etc. En el número 22, correspondiente a mayo-junio de 2007, se analiza el moldeo por inyección como tópico central. Además hay interesantes artículos como “El segundo polímero natural más abundante: las promesas de la quitina” y “Después del petróleo…: ¿plásticos alternativos?”, entre otros. También hay información útil al sector de plásticos, como novedades en equipos, directorios de proveedores, información de eventos, etc. Para mayor información puede contactarse a: ambienteplastico@plastico.com.mx o consultar la página en Internet: www.ambienteplastico.com (FJEG) (JAAG) Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 77 �Colaboradores Álvarez García, José Luis Licenciado en Física y Maestro en Ciencias por la Facultad de Ciencias de la UNAM. Es profesor de Tiempo Completo del Departamento de Física de la misma dependencia. Sus áreas de trabajo son la filosofía y la historia de la física, así como la enseñanza de la física y las matemáticas. Ávila Juárez, José Oscar Doctor en Ciencias Sociales por El Colegio de Jalisco, Maestría en Historia por El Colegio de Michoacán y Licenciado en Historia por la UANL. Bernal Pérez, Jorge Ingeniero Civil (1981) y pasante de la Maestría en Ciencias con especialidad en Ingeniería Ambiental (2005) por la UANL Superintendente de la Planta de Tratamiento de Aguas Residuales “Dulces Nombres”, Servicios de Agua y Drenaje de Monterrey. Blanco Jerez, Leonor María Licenciada en Química (1971) y Doctora en Ciencias Técnicas (1987) por la Universidad Central de las Villas, Cuba. Es coautora de 3 libros, ha publicado 78 artículos en revistas arbitradas y ha presentado 135 ponencias en 81 eventos científicos. Miembro de la Academia Mexicana de Ciencias, de la American Chemical Society, de la Sociedad Mexicana de Electroquímica y de la Sociedad Química de México. Carlín Gutiérrez. Manuel Fabián Ingeniero Químico (1995) por la UANL. Trabaja en la Planta de Tratamiento de Aguas Residuales “Dulces Nombres”, Servicios de Agua y Drenaje de Monterrey. 78 Chamayou, Alain Ingeniero Químico por ENSIGC Toulouse (France), PhD (Chemical Engineering) 1993 ENSIGC Toulouse (France). Labora en la Ecole des Mines d’Albi, Francia, donde es «Engineering Lecturer». Ha publicado más de 15 trabajos en revistas ISI, ha participado en 27 congresos internacionales y ha dirigido 15 tesis Doctorales. De la O Serna, José Antonio Ingeniero Mecánico Electricista por el ITESM. Diplomas de la Escuela Nacional Superior de Electrotécnica y Radioelectricidad de Grenoble y del Programa D1 del IPADE. Doctor Ingeniero por la Escuela de Telecomunicaciones de París, Francia en 1982. Fue profesor del ITESM de 1982 a 1986. En 1987 se incorporó al Programa Doctoral en Ingeniería Eléctrica de la UANL donde actualmente es profesor investigador. Es Senior Member del IEEE y miembro del SNI. Dodds, John PhD (Chemical Engineering) 1968 Loughborough University (GB), B.Tech (hons) (Chemical Engineering) 1965 Loughborough University (GB). Actualmente es Profesor de Ingenieria de Procesos en la Ecole des Mines d’Albi, France. Ha publicado más de 100 trabajos en revistas ISI, ha dirigido 24 Tesis de Doctorado y tiene más de 100 presentaciones en Congresos Internacionales. Es miembro de la Academia Real de Ingenieros de Gran Bretaña. Gaete Garretón, Luis Francisco Javier Profesor de Física por la Universidad de Chile (1968), Licenciado en Ciencias Físicas (1975) y Doctor en Ciencias (1981) por la Universidad Complutense Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Colaboradores de Madrid. Profesor Titular de la Universidad de Santiago de Chile desde 1999 donde actualmente es Director del Laboratorio de Ultrasonidos. Ha dirigido más de 25 tesis de grado, 5 de master y 1 de doctorado. Su labor de investigación se encuentra recogida en más de 30 publicaciones ISI, más de 100 presentaciones a congresos, 3 libros y 8 patentes de invención. Jiménez Medina, José Leonardo Licenciado en Química Industrial (2006) por la Facultad de Ciencias Químicas de la UANL. Martínez Facundo, Karla V. Licenciada en Matemáticas de la FCFM de la UANL. Actualmente es estudiante en el Posgrado en Ingeniería de Sistemas de la FIME-UANL. Loaiza Navía, Jimmy Ingeniero Civil (1983) por la Universidad Autónoma Tomás Frías de Potosí, Bolivia. Maestrías en Ciencias con especialidad en Ingeniería Ambiental (1987) y en Salud Pública (1988) por la UANL. Actualmente estudia un Doctorado en Ingeniería con énfasis en Ciencias del Agua en el Centro Interamericano de Recursos del Agua, de la Universidad Autónoma del Estado de México. Labora en los Servicios de Agua y Drenaje de Monterrey. Menchaca Maciel, Mónica del Carmen Licenciada en Física por la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la UANL. Actualmente estudia el Doctorado en Ingeniería Física Industrial en la misma Facultad. Morones Ibarra, J. Rubén Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas por la UANL. Obtuvo su Doctorado en Física en el área de Física Nuclear Teórica en la University of South Carolina, USA. Actualmente es maestro de la FCFM de la UANL. SNI nivel I. Ortiz Méndez, Ubaldo Egresado de la Facultad de Ciencias FísicoMatemáticas de la UANL, obtuvo su DEA en Ciencias de Materiales en la Universidad Claude Bernard de Lyon, Francis y su doctorado en Ingeniería de Materiales en el INSA de Lyon. Es investigador de la FIME-UANL, miembro del SNI nivel I y miembro Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 de la Academia Mexicana de Ciencias.Actualmente es Secretario Académico de la UANL. Prieto de Castro, Carlos Es Investigador Titular C del Instituto de Matemáticas de la UNAM y profesor de la licenciatura de la Facultad de Ciencias, del Posgrado de Matemáticas. Ha publicado más de 25 artículos de investigación y más de 25 artículos de divulgación en prestigiadas revistas. Es autor o coautor de unos diez libros en editoriales internacionales. Es miembro de la Academia Mexicana de Ciencias y de la Sociedad Matemática Mexicana, de la cual fue su presidente de 1990 a 1992. Pertenece al SNI. Ríos Mercado, Roger Z. Licenciado en Matemáticas de la UANL. Doctor y Maestro en Ciencias en Investigación de Operaciones e Ingeniería Indutrial por la Universidad de Texas en Austin. Actualmente Profesor del programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas de la FIMEUANL. Es miembro del SNI (Nivel II), de la Academia Mexicana de Ciencias y del Cuerpo Académico de Ingeniería de Sistemas. Más sobre su trabajo en: http://yalma.fime.uanl.mx/roger/ Robledo Padilla, Felipe Ángel Ingeniero Físico Industrial por el ITESM-Campus Monterrey (1999). Actualmente es estudiante de tiempo completo en el Doctorado en Ingeniería Física Industrial de la Facultad de Ciencias FísicoMatemáticas UANL. Saucedo Martínez, Jania A. Licenciada en Matemáticas por la FCFM de la UANL. Actualmente es estudiante del Posgrado de Ingeniería de Sistemas de la FIME-UANL. Segura Ramiro, José Ángel Licenciado en Ciencias Computacionales por la FCFM de la UANL. Actualmente realiza su tesis de maestría en el Posgrado en Ingeniería en Sistemas de la FIME-UANL. Urbano Vázquez, Miguel A. Ingeniero Administrador de Sistemas por la FIMEUANL. Actualmente realiza su tesis de maestría en el Posgrado de Ingeniería de Sistemas de la FIMEUANL. 79 �Colaboradores Vargas Hernández, Yolanda Licenciada en Educación y Magíster en Ciencias, Física, por la Universidad de Santiago de Chile. Doctor en Ciencias por la Universidad de Viena, Austria. Trabaja en el Laboratorio de Ultrasonidos desde 1994. Premio a la mejor alumna de su promoción. Más de 20 publicaciones ISI y 30 presentaciones a congresos. Participa en 4 patentes de invención. ASOCIACIÓN DE MÉXICO DE CONTROL AUTOMÁTICO CONGRESO NACIONAL 2007 Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías” de la UANL Monterrey, Nuevo León. 24, 25 y 26 de octubre del 2007 http://amca.fime.uanl.mx TEMAS: Se aceptarán trabajos en el área de Control automático y cualquiera de sus disciplinas afines. Algunos de los tópicos de interés son: - Control de sistemas lineales y no lineales - Modelado y simulación de procesos - Robótica - Control de sistemas electromecánicos - Control de procesos químicos - Control de sistemas discretos - Automatización de procesos - Mecatrónica - Diagnóstico de fallas en sistemas dinámicos - Control tolerante a fallas - Control de sistemas con retardo - Modelado y control de sistemas electrónicos de potencia CONFERENCIAS PLENARIAS Se impartirán tres conferencias plenarias por expertos nacionales e internacionales. 80 SESIONES INVITADAS El comité organizador exhorta a la comunidad de control a someter sesiones invitadas (de entre 4 y 6 trabajos) sobre temas específicos. FECHAS IMPORTANTES Recepción de trabajos: hasta el 23 de julio. Publicación de resultados: 18 de septiembre. Entrega de trabajos finales: 30 de septiembre. Realización del congreso: 24 al 26 de octubre. ORGANIZADO POR: Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad Autónoma de Nuevo León INFORMES: amca@fime.uanl.mx Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 �Información para colaboradores Se invita a profesionistas, profesores e investigadores a colaborar en la revista Ingenierías con: artículos de divulgación científica y tecnológica, artículos sobre los aspectos humanísticos del quehacer ingenieril, reportes de investigación, reportajes y convocatorias. El envío de artículos a la revista Ingenierías para su publicación implica el ceder los derechos de autor a la UANL. Es requisito que las colaboraciones sean producto del trabajo directo de los autores; y que estén escritas en un lenguaje claro, didáctico y accesible. Las contribuciones no deberán estar redactadas en primera persona. Se aceptarán trabajos en inglés solamente de personas cuyo primer idioma no sea el español. Todos los artículos recibidos estarán sujetos a arbitraje de tipo doble anónimo siendo inapelable el veredicto. Los criterios aplicables a la selección de textos serán: originalidad, rigor científico, precisión de la información, el interés general del tema expuesto y la claridad del lenguaje. Los artículos aprobados serán sujetos a revisión de estilo. CRITERIOS EDITORIALES En el caso de los trabajos de revisión el autor debe demostrar que ha trabajado y publicado en el tema del artículo, debe ofrecer una panorámica clara del campo temático, debe separar las dimensiones del tema y evitar romper la línea de tiempo y considerar la experiencia nacional y local, si la hubiera. No se aceptan reportes que muestren solamente mediciones. Los artículos deben contener la presentación de resultados de medición acompañados de su análisis detallado, un desarrollo metodológico original, una manipulación nueva de la materia o ser de gran impacto y novedad social. Sólo se aceptan modelos matemáticos si son validados experimentalmente por el autor. No se aceptarán trabajos basados en encuestas de opinión o entrevistas, a menos que aunadas a ellas se realicen mediciones y se efectúe Ingenierías, Julio-Septiembre 2007, Vol. X, No. 36 un análisis de correlación para su validación. No se aceptan trabajos de carácter especulativo. Los artículos a publicarse en partes, deben enviarse al mismo tiempo, pues se arbitrarán juntas. LINEAMIENTOS EDITORIALES Para su consideración editorial es requisito enviar: artículo, material gráfico, fichas biográficas de cada autor con un máximo de 100 palabras, en formato electrónico .doc en Word, en CD o por E-mail a la dirección: revistaingenierias@gmail.com El título del artículo no debe exceder de 80 carácteres. El número máximo de autores por artículo es cuatro. La extensión de los artículos no deberá exceder de 8 páginas tamaño carta (incluyendo gráficas y fotos) en tipografía Times New Roman de 11 puntos a espacio sencillo. Los artículos deben incluir un resumen tanto en español como en inglés, de no más de 100 palabras, así como un máximo de 5 palabras clave tanto en español como inglés. Las referencias deberán ir numeradas en el orden citado en el texto. Las fichas bibliográficas incluirán, en orden, los siguientes datos: Autores o editores, título del artículo, nombre del libro o de la revista, lugar, empresa editorial, año de publicación, volumen y número de páginas. Debe incluirse al menos una imagen o gráfica por página, en formato jpg, con 300 dpi y con al menos 15 cm en su lado más pequeño. Las imágenes además de estar incluidas en el artículo, deben enviarse en archivos individuales en formato .tif o .eps. Para cualquier comentario o duda estamos a disposición de los interesados en: Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León, Edificio 7, 1er. piso, ala norte. Tel.: 8329-4020 Ext. 5854 Fax: 8332-0904 E-mail: revistaingenierias@gmail.com 81 �� Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Ingenierías Description An account of the resource Revista de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL. Publicada a principios de la década de los noventa, editada por Rafael Covarrubias Ortiz. Contiene información sobre las actividades académicas, estudiantiles y administrativas de la Facultad, así como investigación y difusión de la ingeniería. Text A resource consisting primarily of words for reading. Examples include books, letters, dissertations, poems, newspapers, articles, archives of mailing lists. Note that facsimiles or images of texts are still of the genre Text. Título Uniforme Ingenierías Año de publicación El año cuando se publico 2007 Volumen Volumen de la revista 10 Número Número de la revista 36 Mes de publicación Mes cuando se publicó Julio-Septiembre Día Día del mes de la publicación 1 Periodicidad La periodicidad de la publicación (diaria, semanal, mensual, anual) Trimestral Relación OPAC https://www.codice.uanl.mx/RegistroBibliografico/InformacionBibliografica?from=BusquedaAvanzada&bibId=1751916&biblioteca=0&fb=20000&fm=6&isbn= Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Ingenierías, 2007, Vol 10, No 36, Julio-Septiembre Creator An entity primarily responsible for making the resource González Treviño, José Antonio, Director Subject The topic of the resource Ciencia Tecnología Ingeniería Investigación Publicaciones periódicas Description An account of the resource Revista de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL. Publicada a principios de la década de los noventa, editada por Rafael Covarrubias Ortiz. Contiene información sobre las actividades académicas, estudiantiles y administrativas de la Facultad, así como investigación y difusión de la ingeniería. Publisher An entity responsible for making the resource available Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Elizondo Garza, Fernando J., 1954-, Director Aguilar Garib, Juan Antonio, Editor Méndez Cavazos, Julio César, Coordinador Editorial Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 01/07/2007 Type The nature or genre of the resource Revista Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource tex/pdf Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context 2020799 Source A related resource from which the described resource is derived Fondo Universitario Language A language of the resource spa Relation A related resource http://ingenierias.uanl.mx/archivo.html Spatial Coverage Spatial characteristics of the resource. San Nicolás de los Garza, N.L., (México) Rights Information about rights held in and over the resource Universidad Autónoma de Nuevo León Rights Holder A person or organization owning or managing rights over the resource. El diseño y los contenidos de La hemeroteca Digital UANL están protegidos por la Ley de derechos de autor, Cap. III. De dominio público. Art. 152. Las obras del dominio público pueden ser libremente utilizadas por cualquier persona, con la sola restricción de respetar los derechos morales de los respectivos autores Ecuación Fasoreta Fundidora Monterrey Johannes Kepler Telecomunicaciones Vector